求​​​​​​​max(0＜=x＜=1) x*e^(-x^2)

$$原式=\underset{0\le x\le 1}{\max }x{e}^{-x^2}$$

这里我的思路是：定义$$u(x)=x{e}^{-x^2},f(x)=x,g(x)=e^{-x^2}$$$$\therefore u(x)=f(x)g(x),$$$$u^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$
则求出u(x)的导数u’(x)时，令u’(x)=0求出极值点。

1 求导

函数定义如上。根据公式则：
$$u^{\prime }(x)=[f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x),$$$$f^{\prime }(x)=1,需计算g^{\prime }(x)$$$$令v(x)=-x^2,g_2(x)=e^x则$$$$g(x)=g_2(v(x)),g^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)g_2^{\prime }(v(x))$$$$\therefore g^{\prime }(x)=(-2x)(e^{-x^2})$$然后计算u’(x):
$$u^{\prime }(x)=1g(x)+x{g}^{\prime }(x)$$$$=e^{-x^2}+(-2x^2)(e^{-x^2})$$$$=(1-2x^2)(e^{-x^2})$$

2计算

令$$u^{\prime }(x)=0,即(1-2x^2)(e^{-x^2})=0$$
这是一个乘法算式，我们可以得出，若u’(x)=0，则$$(1-2x^2)or(e^{-x^2})=0$$然而，有$$e^x>0(x\in \mathbb{R})$$故只能是$$1-2x^2=0$$
那么来解一下这个方程。

1公式

化为ax²+bx+c=0的形式：$$(-2)x^2+1=0$$则$$解:x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$$$=\frac{0\pm \sqrt{8}}{-4}=\pm \frac{2\sqrt{2}}{4}$$故得：$$\therefore x_0=\frac{\sqrt{2}}{2},x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

2直接解

$$解:-2x^2=-1$$$$x^2=\frac{1}{2}$$$$x=\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$$$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$$$\therefore x_0=\frac{\sqrt{2}}{2},x_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

3答案

先前得到了两个解，那么
1）根据范围判定，舍掉负根
2）代入值计算，舍掉负根
3）再次利用导数

根据范围判定舍掉负根

$$\because 0\le x\le 1\therefore x\ne -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

代入值计算舍掉负根

函数u(x)为xe^(-x方)
计算：代入x₁(负根）计算
原式=$$-\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{-(-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}$$
其实不用进行太繁琐的计算。因为e^x在x属R时必定大于0，则本算式结果为负。则其必定为最小值点

导数原理计算

令l₁<x₁,l₂>x₁.

例：取l₁=-1,l₂=0
则代入u’(x):$$u^{\prime }(l_1)=(1-2)e^{-1}=-\frac{1}{e}<0$$$$u^{\prime }(l_2)=e^0=1>0$$$$\therefore x_1为极小值点$$同理可证x₀是极大值点

4最大值

说了这么多来计算一下
$$u(x)的极大值点为x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
则$$\underset{0\le x\le 1}{\max }x{e}^{-x^2}=u(\frac{\sqrt{2}}{2})$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}{e}^{-\frac{1}{2}}$$$$=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{\sqrt{e}}$$$$\therefore \underset{0\le x\le 1}{\max }x{e}^{-x^2}=\frac{\sqrt{2e}}{2}$$

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完