复数&欧拉公式

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1虚数

定义： $\sqrt{-1}=i\quad i^{2}=-1$
$\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$
在数学里通常用i来代替sqrt(-1)。
幂运算：

虚数的幂
i^(-3) = i
i^(-2) = -1
i^(-1) = -i
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i
i⁴ = 1
…
iⁿ = i^n-4

2复数

复数就是形如(a+bi)的数。 $z = a + bi$
显然地，当a=0时则z为纯虚数，当b=0时z为实数。
所有复数的集合为C。相应地，有 $\mathbb R\underset{\neq}{\subset}\mathbb C$

共轭复数

复数z=a+bi，其共轭复数为a-bi。写作： $z=a+bi\quad \={z}=a-bi$
共轭复数有一些有趣的性质。
$·\={z}=a^{2}+b^{2}$

复数的概念与图像

在这里插入图片描述

建立一个平面直角坐标系，令 $z = a + bi, 点 P = (a, b)$ $则z与\overrightarrow{OB}有着一些相似之处。$ $|z|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{a^2+b^2}$

幅角

$如上图，z的幅角即\phase{\theta},记作Argz$
Argz用弧度制表示，其值有无限个，为 $\theta + 2n\pi (n\in\mathbb Z)$
其中，当n=0时称为幅角主值，记作 $argz\quad,argz\in (-\pi,\pi]$
当|z|=0时幅角没有意义。
$argz=\arctan{\frac{b}{a}} \tag{a>0}$ $argz=\frac{\pi}{2}\tag{a=0,b>0}$ $argz=-\frac{\pi}{2}\tag{a=0,b<0}$ $argz=\arctan{\frac{b}{a}} +\pi \tag{a<0,b>=0}$ $argz=\arctan{\frac{b}{a}} -\pi \tag{a<0,b<0}$
以上为计算公式。

3欧拉公式

$e^{ix} = \cos (x)+i\sin(x)$
一个复数可以表示成多种形态。

复数表示-代数式：

$z=\left(a+bi\right)$

复数表示-三角式：

$z=r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\quad r=|z|,\theta=argz$

复数表示-指数式：

$z=re^{i\theta}\quad r=|z|,\theta=argz$
三角式和代数式可以通过欧拉公式进行变换。

4复数运算

加法

减法

乘法

$z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ $z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}}$
$z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)$
以下内容为简化计算时的本人所推附加公式
当
$z_{1}=a_{1}-b_{1}i$ $z_{2}=a_{2}-b_{2}i$ 时,
$z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}\right)+i\left(-a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)$

当
$z_{1}=a_{1}-b_{1}i$ $z_{2}=a_{2}+b_{2}i$ 时,
$z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)$

当
$z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ $z_{2}=a_{2}-b_{2}i$ 时,
$z_{1}z_{2}=\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(-a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)$

除法

$z_{1}=a_{1}+b_{1}i=r_{1}(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})=r_{1}e^{i\theta_{1}}$ $z_{2}=a_{2}+b_{2}i=r_{2}(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2})=r_{2}e^{i\theta_{2}}$
$\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{z_{1}\=z_{2}}{z_{2}\=z_{2}}=\frac{\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)+i\left(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}$ $=\frac{\left(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+\frac{\left(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}\right)}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}i$

开n次根号

$z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ $\sqrt[n]{z}=\left[r\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\right]^{\frac{1}{n}}$
这个算式的解有n个，为： $\small{\omega_{k}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{2k\pi+\theta}{n}+i\sin\frac{2k\pi+\theta}{n})\quad\quad\quad\quad\quad}\tag{\tiny{k=0,1,2,3,...,n-1}}$

开复数次方

$n^z,n\in\mathbb R=n^{a}n^{bi}$

sin正弦与cosine余弦

1定义

复数域C下正弦函数：
$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ 余弦函数：
$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$
定义同时满足实数范围。即当z变为一个实数x时，上述两式所得结果符合实数域下正余弦。可以用欧拉公式辅助证明。证略。
复数满足两角和公式
同样利用欧拉公式。证略。

2实部和虚部

预备：双曲正弦函数和双曲余弦函数的计算公式

双曲正弦（sinh）的计算公式：
$\sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
双曲余弦（cosh）的计算公式：
$\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

正文

$z = a + bi$ $sin z=\sin{(a+bi)}=\sin a\cos bi+\cos a\sin bi$ $cos z=\cos{(a+bi)}=\cos a\cos bi-\sin a\sin bi$
其中的cos bi和sin bi根据复数正弦函数的定义可以分别化为：
$\sin bi = \frac{e^{-b}-e^{b}}{2i}= i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}=i\sinh b$ $\cos bi=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\cosh b$
将结论代入可得最终结果。
$sin z=\sin{(a+bi)}=\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b$ $cos z=\cos{(a+bi)}=\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b$