1.填空题 进制转换Oct.2023

原题

部分可能会有用处的知识:

ppp进制转十进制:

假设有一个ppp进制数,个位是a0a_0a0,向高位依次是a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an,向低位依次是b1,b2,b3,...,bkb_1,b_2,b_3,...,b_kb1,b2,b3,...,bk,那么它的整数部分就相当于101010进制中的
Σi:0→naipi=a0×p0+a1×p1+...+an×pn \Sigma_{i:0\rightarrow n}a_ip^i=a_0\times p^0+a_1\times p^1+...+a_n\times p^n Σi:0naipi=a0×p0+a1×p1+...+an×pn
相应的,小数部分是
Σi:1→nbip−i=b1×p−1+b2×p−2+...+bn×p−n \Sigma_{i:1\rightarrow n}b_ip^{-i}=b_1\times p^{-1}+b_2\times p^{-2} +...+b_n\times p^{-n} Σi:1nbipi=b1×p1+b2×p2+...+bn×pn
十进制转ppp进制以此类推。

例如,将10010100_{10}10010转换为N16N_{16}N16

  1. 100100100除以161616,得商666,余数444∴\therefore个位是444
  2. 再将666除以161616,得商000,余数666∴4\therefore 44的高一位是666
  3. ∴10010=6416\therefore 100_{10}=64_{16}10010=6416

那么,如果想把ppp进制和qqq进制相转换,只需要借助十进制过渡一下即可。

在这里,我们约定,A=10,B=11,C=12,...,Z=35A=10,B=11,C=12,...,Z=35A=10,B=11,C=12,...,Z=35

102410485761024^{1048576}10241048576进制下的20+21+22+...+210485759210485760\dfrac{2^0+2^1+2^2+...+2^{10485759}}{2^{10485760}}21048576020+21+22+...+210485759转为[(1024524288+1)(1024262144+1)(1024131072+1)(102465536+1)..(1024−1)+2][(1024^{524288}+1)(1024^{262144}+1)(1024^{131072}+1)(1024^{65536}+1)..(1024-1)+2][(1024524288+1)(1024262144+1)(1024131072+1)(102465536+1)..(10241)+2]进制下的数字。
(为书写方便,约定α=1024,β=10241048576\alpha = 1024,\beta = 1024^{1048576}α=1024,β=10241048576,γ1=β−1\gamma_1=\beta-1γ1=β1,γi=β−i\gamma_i=\beta-iγi=βi。例如,1024×1025+10241024\times1025+10241024×1025+1024102510251025进制中可以写作αα\alpha\alphaαα


对于ppp进制显然1p−1=0.1111111....\frac{1}{p-1}=0.1111111....p11=0.1111111....

证明

ppp进制中,
0.11111...=p−1+p−2+...Let S=p−1+p−2+...∴pS=S+1,pS−S=1∴(p−1)S=1∴S=1p−1 0.11111...=p^{-1}+p^{-2}+...\\ Let\ S=p^{-1}+p^{-2}+...\\ \therefore pS=S+1,pS-S=1\\ \therefore (p-1)S=1\\ \therefore S=\frac{1}{p-1} 0.11111...=p1+p2+...Let S=p1+p2+...pS=S+1,pSS=1(p1)S=1S=p11

p=10241048576p=1024^{1048576}p=10241048576,化简原分式得p−1p\frac{p-1}{p}pp1
s=p+1=10241048576+1,p=s−1s=p+1=1024^{1048576}+1,p=s-1s=p+1=10241048576+1,p=s1,原问题等同于求sss进制下的s−2s−1\frac{s-2}{s-1}s1s2
那么答案显然为(10241048576−1)×0.1111...=0.γ1γ1γ1...(1024^{1048576}-1)\times0.1111...=0.\gamma_1\gamma_1\gamma_1...(102410485761)×0.1111...=0.γ1γ1γ1...

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