一个简单的数学问题

这个东西发提问没人看就发在这里了

一个球体的体积V_Sphere是容易求的:

V_{Sphere}=\frac{4}{3}\pi r^{3}

 则我们很容易求出半径为1的圆球的体积为\frac{4}{3}\pi.


众所周知方程【x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}】在三维笛卡尔坐标系中的图像为一个半径为R的圆,

则R取1时这个方程x^{2}+y^{2}+z^{2}=1的图像就成了一个半径为1的圆。

那么我们就能推出f(x):z=f(x,y)=\pm \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}

但因为我们不需要z<0的那个半圆,我们就顺理成章的把这个部分去了,f(x,y)简化为了

f(x,y)=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}

this is a picture of the function above.It shows a 1/2 sphere.

好的接下来要计算体积,则先圈定一个范围D

D=\begin{align*} &x:0\leq x \leq 1 \\ &y:0\leq y \leq 1 \end{align*}

 然后进行二重积分

\iint_{D}^{}f(x,y)d\sigma =\iint_{D}^{}f(x,y)dxdy

极坐标变换: 

\left\{\begin{matrix} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \end{matrix}\right.

原方程式化为: 

\int_{0}^{1}dy\int_{0}^{1}f(x,y)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho

=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{1-(\rho\cos\theta)^{2}-(\rho\sin\theta)^{2}}\rho d\rho

化简:

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{1-\rho^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)}\rho d\rho

=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{1-\rho^{2}}\rho d\rho

好的那么现在就非常尴尬了-_-||看看积分限上限为\sqrt{2},下限为0,然鹅……上限不能是\sqrt{2}……

 这就麻烦了&_&事实上我们忽略\rho的部分,只看sqrt(1-rho^2),你就发现了,这个函数的原函数是arcsin rho,而sine(正弦)函数在\mathbb{R}内是不可能出现大于1或小于-1的情况的,因此我们发现:这个积分……它不成立(至少在实数域内)



好的以上是我的问题

接下来是我的一个可能的想法

根据定积分的几何意义,为0<\rho<sqrt(2)的面积。

但是1<\rho<sqrt(2)的部分是虚数就没法解所以我们只取0<\rho<1的部分。

因此我们把方程式化为这个:

 =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{1}\sqrt{1-\rho^{2}}\rho d\rho

=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{3}d\theta

=\frac{\pi}{6}-0\therefore V_{1/8Sphere}=\frac{\pi}{6},V_{Sphere}=8V_{1/8Sphere}=\frac{4}{3}\pi

你看这个答案就没问题^_^求教各路大佬这个证明是否正确

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