44、滤波器组：小波变换的新视角

滤波器组：小波变换的新视角

1. 引言

滤波器组是信号处理领域中的一个重要概念，它为我们理解和应用小波变换提供了新的视角。通过将输入信号分解为不同的频率分量，滤波器组能够实现信号的高效处理和数据压缩。本文将深入探讨滤波器组的基本原理、工作机制以及如何推导滤波器系数。

2. 滤波器基础

2.1 滤波器的定义

滤波器是一种线性算子，由其滤波器系数 (h(0), h(1), h(2), \cdots) 定义。它可以应用于输入向量 (x) 以产生输出向量 (y)，具体计算公式为：
[y(n) = \sum_{k} h(k)x(n - k) = h \star x]
其中，符号 (\star) 表示卷积。输入向量 (x) 可以表示为 (x = (\cdots, a, b, c, d, e, \cdots))，其中 (c = x(0)) 是时间为零时的输入，(d) 和 (e) 分别是时间为 1 和 2 时的输入，(b = x(-1)) 和 (a = x(-2))。在实际应用中，输入通常是有限的，因此无限向量 (x) 只有有限个非零元素。

2.2 有限脉冲响应（FIR）滤波器

为了深入了解线性滤波器的行为，我们考虑一个简单的输入 (x = (\cdots, 0, 0, 1, 0, 0, \cdots))，这个输入在除 (t = 0) 外的所有时间都为零，被称为单位脉冲或单位冲激。对于任何 (n)，卷积中的求和只有一个非零项，因此 (y(n) = h(n)x(0) = h(n))。我们称时间 (n) 时的输出 (y(n) = h(n)) 是对单位冲激 (x(0) = 1) 在时间 (n) 的响应。由于滤波器系数 (h(i))