本文深入探讨了小波分析中的滤波器组如何在Z变换下重建原信号，通过数学推导揭示了重构信号的条件。讨论了低通和高通滤波器的关系，提出了半带滤波器的概念，并分析了简化求解过程的附加条件，如滤波器的对称性，特别提到了这种条件在Haar小波中的应用。
由上面的公式可知，T(Z)可以转化为两个多项式X(Z)和X(-Z)的和，根据多项式原理；若想要T(Z)=N*X(Z)，则需要满足X(-Z)部分等于0，而X(Z)部分不等于0。
也就是必须满足上诉等式，重构才能成立。后面的Z的-L次方是常数在Z变换下的结果。逆变换之后不会改变原来的信号。由于上面的式子是X(Z)的系数，所以又被称为失真项，而下面的式子则是X(-Z)的系数，也就是原信号平移一个PI相位之后的结果，因此被称为混叠项。
从混叠项开始推导，由于H0和F0是低通滤波器，而H1和F1则是高通滤波器。根据多项式的一些基本原理，因此最简单的有H0(-Z)=F1(Z)，F0(Z)=-H1(-Z)。
假设,P0(Z)=F0(Z)H
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