了解黎曼ζ函数

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分类专栏： 漫游数学世界 文章标签： 算法 黎曼ζ函数
于 2024-03-05 16:26:25 首次发布
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黎曼ζ函数是复变函数论中的关键，由贝尔纳·黎曼提出，其定义通过级数展开。函数的解析性质和黎曼猜想与素数分布紧密相连。文章详细阐述了ζ(s)的定义、收敛性以及重要数值，如巴塞尔级数和与π的幂的关系。

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文章目录

一、黎曼ζ函数概述

黎曼 ζ ζ ζ函数，由贝尔纳·黎曼提出，是复变函数论中的重要函数。定义为级数 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + … \displaystyle\frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^{s}} + \frac{1}{3^{s}} + \frac{1}{4^{s}} + \ldots

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4、 代数信息学：黎曼ζ函数零点的计算方法
weixin_35578748的博客
05-31 32
本文深入探讨了利用线性代数方法计算黎曼ζ函数零点的技术细节，包括方程组求解、特征值问题构造以及优化算法的应用。同时，结合实际案例分析了该研究在密码学、数据分析和物理学等领域的应用价值，并提出了结果验证与准确性评估的方法。
非交换几何与黎曼ζ函数：数学中的一场革命性对话
howard2005的专栏
11-25 1821
非交换几何为研究黎曼ζ函数提供了一个强大的工具，它通过将几何和代数的方法应用于非交换结构，为理解ζ函数的深刻性质和解决黎曼猜想提供了新的途径。这一领域的研究仍在不断发展，非交换几何与黎曼ζ函数之间的联系也在不断被探索和深化。
黎曼的zeta函数(2)
qtxzh的博客
01-27 1274
上回说到，J(x)J(x)J(x)经过一次分部积分后的结果为 J(x)=−12πi1ln⁡x∫a−i∞a+i∞xzdln⁡ζ(z)zJ(x) = -\frac{1}{2\pi i}\frac{1}{\ln x}\int_{a - i\infty}^{a + i\infty}x^zd\frac{\ln\zeta(z)}{z}J(x)=−2πi1​lnx1​∫a−i∞a+i∞​xzdzlnζ(z)​ 其中 ln⁡ζ(s)=ln⁡ξ(0)+∑ρln⁡(1−sρ)−ln⁡Γ(s2+1)+s2ln⁡π−ln⁡(s−1
黎曼Zeta函数，人类文明黎曼Zeta函数，人类文明永恒的的纪念
袁萌专栏
02-23 2109
人与地球人进行交流，地球人拿出圆周率、自然对数和三角函数给他们看。他们不以为然，认为人类是“原始人”。后来，人类拿出黎曼Zeta函数，并且向他们讲解 黎曼Zeta函数的零点分布规律，……，外星人大惊失色，大为吃惊，连忙要拜人类为老师。 所以，黎曼Zeta函数，是人类文明永恒的纪念。 袁萌 陈启清 2月23日 ...
黎曼ζ函数(中文维基百科)
zp235711的博客
07-29 1万+
黎曼ζ函数,中文维基百科 黎曼ζζζ函数ζ(s)ζ(s)ζ(s)的定义如下： 设一复数 sss，其实数部分 >1> 1>1,而且： ζ(s)=∑n=1∞1ns\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}ζ(s)=n=1∑∞​ns1​ 它亦可以用积分定义： ζ(s)=1Γ(s)∫0∞xs−1ex−1dx \zeta(s) = \...
黎曼的zeta函数(0)
热门推荐
qtxzh的博客
09-19 1万+
Gamma函数 考虑如下等式 ∑k=0∞xk=1+x+x2+⋯=11−x\sum^{\infin}_{k=0}x^k = 1 + x +x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}k=0∑∞​xk=1+x+x2+⋯=1−x1​ 而恰有 ∫0∞e−(1−x)tdt=[−11−xe−(1−x)t]0∞=11−x \int_0^{\infin}e^{-(1-x)t}\rm dt = [-\frac{1}{1-x}e^{-(1-x)t}]_0^{\infin} = \frac{1}{1-x}∫0∞​e−
黎曼函数
cuipanguo的博客
09-25 5844
https://bbs.hupu.com/23711286.html http://www.doc88.com/p-5995843773768.html 首先对这个TODD函数一脸懵逼，查了点资料说是和精细结构常数（但是，问题来了，阿蒂亚给出的这个精细结构常数在物理学家眼里其实不是常数，因为根据量子场论的最新研究成果，精细结构常数其实刻画的是电磁相互作用的强度，物理学家称之为“耦合常数”。但耦...
论黎曼ζ函数的非显明零点 (1956年)
05-12
引论 黎曼ζ函数ζ(8)(s=σ+it)以s=-2,-4,…为零点。这些零点就是所谓显明零点(trivial zeros),其他的零点就是所谓非显明零点(non-trivial zeros)都含于带形区域0
狄利克雷函数与黎曼ζ函数的关系：揭示狄利克雷函数与黎曼ζ函数的联系
狄利克雷函数和黎曼ζ函数是数学分析中两个重要的特殊函数，在数论、解析数论、物理学和计算机科学等领域有着广泛的应用。 狄利克雷函数是一个定义在实数上的函数，它在有理数处取值为1，在无理数处取值为0。黎曼ζ...
黎曼函数方程——数学上最美丽的方程之一
图灵教育
01-31 1437
提到最美丽的方程，很多人首先想到的可能是欧拉恒等式，它是复分析中建立三角函数与复指数函数之间基本关系的数学公式。物理学家理查德·费曼称这个方程为“我们的宝石”和“数学中最卓越的公式”。数学中还有一个非常美丽的公式，但鲜为人知，它就是黎曼函数的函数式方程（Riemann’s Functional Equation）。在本文中，我将推导上述方程并了解其组成部分。为此，我们需要从更容易理解的地方开始。...
黎曼函数的性质及其证明.pdf
06-02
黎曼函数（Riemann function）是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在[0,1]上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p,q都属于正整数，p/q为既约真分数)；R(x)=0，当x=0，1和(0,1)内的无理数。 [1] 黎曼函数在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。 函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。
黎曼函数的性质及其证明 (2002年)
04-23
从黎曼函数的简单特征入手讨论它的连续性、可积性、可导性,特别是证明了黎曼函数在区间[0,1]上处处不可导,并结合狄利克雷函数加以引申和推广。
狄利克雷函数与黎曼函数的性质 (2013年)
05-12
总结并证明了狄利克雷函数与黎曼函数的性质,主要包括奇偶性、周期性、连续性、可微性、可积性.特别地,引入极限函数描述狄利克雷函数,并在连续性中引入了上、下半连续.
riemann zeta 函数
01-04
riemann zeta 函数 riemann zeta 函数 riemann zeta 函数 riemann zeta 函数
π之黎曼ζ函数
最新发布
Miles_zhg的博客
03-04 227
黎曼函数
黎曼zeta函数 详细介绍 (英文版)
磁悬浮青蛙呱呱呱
07-12 5544
原始PDF文件下载地址 https://pan.baidu.com/s/1geQsZxL
黎曼的zeta函数(1)
qtxzh的博客
01-14 5346
对于数论函数fgf, ~ gfg，其Dirichlet卷积定义为f∗gn∑d∣nfdgndf∗gnd∣n∑​fdgdn​可以验证，所有数论函数的集合以Dirichlet卷积为乘法构成一个阿贝尔幺半群。实际上这个阿贝尔幺半群是一个整环（无零因子阿贝尔幺环），也就是说数论函数对普通加法构成阿贝尔群非零数论函数对卷积构成阿贝尔幺半群（即无零因子阿贝尔幺半群）卷积对加法有分配律以下验证相关性质，首先，根据定义，如果我们记b≡n。
金婚纪念日谈黎曼函数R（x）
袁萌专栏
09-19 4142
金婚纪念日谈黎曼函数R（x）今天是我的金婚纪念日。结婚当年，我正好是27岁。德国数学家黎曼，大约在27岁时，提出了一种函数R（x），定义在半开区间(0,1]上，对其中的无理数取值零，而对有理数p/q取值1/q（整数p与q互质）。这种古怪的函数，在有理数处间断，在无理数处连续。黎曼函数的图像很古怪，不是一条弧线。但是，黎曼函数可积分。实际上，黎曼函数有很多用处。深入讨论，涉及到许多实变函数论的概念，
黎曼 zeta 函数与黎曼猜想
06-16 1万+
ζ(s)\zeta (s), is a function of a complex variable ss that analytically continues the sum of the infinite series： ζ(s)=∑n=1∞1ns \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} 1. 基本性质 （1）ss 的实部如果大于 1，则级数收敛； （2）
“素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。复平面上使黎曼ζ 函数取值为零的点被称为黎曼ζ函数的零点。s=-2n （n 为正整数）是黎曼ζ 函数的零点，这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zero)”证明这个数据观点，给出严谨的推理流程
05-05
首先，我们需要了解黎曼 zeta 函数的定义： $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$ 其中，$s$ 是一个复数。当 $s$ 的实部大于 $1$ 时，黎曼 zeta 函数是收敛的。当 $s=1$ 时，黎曼 zeta 函数的值为无穷大。 黎曼 zeta 函数的一个重要性质是，它可以被解析延拓到整个复平面，除了 $s=1$ 这个点存在一个极点。具体来说，黎曼 zeta 函数可以被写成以下形式： $$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x$$ 其中，$\Gamma(s)$ 是欧拉伽玛函数。 接下来，我们来证明素数的频率与黎曼 zeta 函数的零点相关。为此，我们需要引入另一个函数 $\psi(x)$，它被定义为： $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ 其中，$\Lambda(n)$ 表示 n 的 von Mangoldt 函数，即： $$\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p, & \text{if }n=p^k\text{ for some prime }p\text{ and integer }k\geq 1\\0, & \text{otherwise}\end{cases}$$ 通过分部积分，可以得到： $$\psi(x)=x-\sum_{\rho}\frac{x^{\rho}}{\rho}-\ln 2\pi-\frac{1}{2}\ln(1-x^{-2})$$ 其中，$\rho$ 是黎曼 zeta 函数的零点。 接下来，我们需要证明的是，当 $x$ 趋近于正无穷时，$\psi(x)$ 与素数的个数 $\pi(x)$ 之间的关系是： $$\psi(x)\sim x\ \text{as}\ x\rightarrow\infty$$ 其中，“$\sim$”表示“渐进等于”。 这个结论可以通过黎曼-底格尔公式得到。黎曼-底格尔公式是一个重要的数学公式，它描述了黎曼 zeta 函数与素数分布之间的关系。具体来说，黎曼-底格尔公式可以写成以下形式： $$\pi(x)=\text{li}(x)+O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$$ 其中，$\text{li}(x)$ 是对数积分函数，$O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$ 是渐进符号，表示当 $x$ 趋近于正无穷时，剩余的误差可以被一个与 $\frac{x}{\ln x}$ 同阶的函数所控制。 我们可以对黎曼-底格尔公式进行微调，得到： $$\psi(x)=\text{li}(x)-\sum_{p}\text{li}(x^{1/p})-\ln 2-\frac{1}{2}\ln(1-x^{-2})+O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$$ 其中，$p$ 是素数。这个公式的证明可以参考数论中的相关文献。 接下来，我们证明当 $x$ 趋近于正无穷时，$\psi(x)$ 与素数的个数 $\pi(x)$ 之间的关系是： $$\psi(x)\sim x\ \text{as}\ x\rightarrow\infty$$ 我们可以先证明当 $x$ 趋近于正无穷时，$\text{li}(x)$ 与 $x$ 的差距是比较小的。具体来说，根据定义，$\text{li}(x)$ 可以写成以下积分的形式： $$\text{li}(x)=\int_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}$$ 通过分部积分，可以得到： $$\text{li}(x)=\frac{x}{\ln x}-\int_{2}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\ln^2 t}+\frac{2}{\ln 2}$$ 因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$\text{li}(x)$ 与 $x$ 的差距是 $O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$ 级别的。 接下来，我们证明当 $x$ 趋近于正无穷时，$\sum_{p}\text{li}(x^{1/p})$ 与 $x$ 的差距也是比较小的。具体来说，我们可以写出： $$\sum_{p}\text{li}(x^{1/p})\leq\sum_{n}\text{li}(x^{1/n})=\sum_{n}\int_{2}^{x^{1/n}}\frac{\mathrm{d}t}{\ln t}=\sum_{n}\frac{x^{1/n}}{n\ln x}=O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$$ 其中，第一个等式是因为 $\text{li}(x^{1/n})$ 可以看成是 $\text{li}(y)$，其中 $y$ 是满足 $y^n=x$ 的最小整数；第二个等式是通过换元积分得到的；第三个等式是通过级数展开得到的。 因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$\psi(x)$ 与 $x$ 的差距是 $O\left(\frac{x}{\ln x}\right)$ 级别的。这意味着，当 $x$ 趋近于正无穷时，$\psi(x)$ 与 $x$ 是同阶的，即： $$\psi(x)\sim x\ \text{as}\ x\rightarrow\infty$$ 因此，我们证明了素数的频率与黎曼 zeta 函数的零点分布相关的结论。
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