卡特兰数 ← C++ 递推实现

hnjzsyjyj

已于 2025-02-24 22:27:19 修改

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分类专栏：信息学竞赛 # 模拟算法与基础语法文章标签：递推法卡特兰数

于 2023-02-21 22:31:04 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/129148916

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文章介绍了卡特兰数在组合数学中的重要性，给出了数列的定义及四种等价的递推公式。提供了一个C++程序来计算指定项的卡特兰数，并展示了一个示例输入和输出。参考了多个在线编程平台和博客资源。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【知识解析】
● 卡特兰数（Catalan number）是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。
若从第0项开始，则卡特兰数列 h[n] 为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, …

● 卡特兰数列 h[n] 有如下4种等价的递推式：
h[n]=h[0]*h[n−1]+h[1]*h[n−2]+...+h[n−1]*h[0], (n≥2, h[0]=h[1]=1)
h[n]=h[n−1]*(4*n−2)/(n+1), (n≥2)
h[n]=C(2n,n)−C(2n,n−1), (n=0,1,2,...)
h[n]=C(2n,n)/(n+1), (n=0,1,2,...)
其中，组合计算公式为： $C_{n}^{m}=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

【算法代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=25;
long long c[maxn];
int n;

int main() {
    cin>>n;
    c[0]=1,c[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        for(int j=0; j<=i-1; j++)
            c[i]+=c[j]*c[i-j-1];

    for(int i=0; i<=n; i++) {
        cout<<c[i]<<" ";
    }

    return 0;
}

/*
in:
20

out:
1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 2674440 9694845 35357670 129644790 477638700 1767263190 6564120420
*/

【参考文献】
https://blog.youkuaiyun.com/hnjzsyjyj/article/details/145830268
https://www.luogu.com.cn/problem/P1044
https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P1044
https://blog.youkuaiyun.com/SunnyLi1106/article/details/128534981
https://leetcode.cn/circle/article/lWYCzv/