卡特兰数的递推公式

买票问题:一张票5元,有8个人有5元,8个人有10元,开始售票员没有钱,每人买一张票,求不发生售票员找不开钱的情况有多少种?

 

 

 

 

 

 

也是卡特兰数的变形,把有5元的看成1,10元的看成0,等价于n个1,n个0组成的2n为二进制数,从左往右,1的个数>=0的个数。从2n个位置填入n个1的方法有C(2n,n)种,其他位置自动填0;从C(2n,n)中减去不合法的即可;不合法发生在某奇数位2m+1上,前面有m+1个0,m个1;

 

 

 

 

 

 

而此后的2n-2m-1个位置上,会有n-m个1,n-m-1个0如果这后面2n-2m-1的位置上0,1位置互换,即有n-m个0,n-m-1个1;结果得n+1个0,和n-1个1组成的2n为二进制数,所以一个不合法的数对应一个n-1个1,n+1个0组成的一个排列;

 

 

 

 

 

 

反过来,任何一个有n+1个0,n-1个1组成的2n位二进制,因为0个个数多两个,所以会在某一奇数位2m+1上出现0的统计个数>1的个数,前面有m+1个0,m个1;而此后的2n-2m-1个位置上,会有n-m-1个1,n-m个0同样后面的0,1互换,这样就组成了一个由n个1,n个0组成的2n位二进制数!而此序列是不合法的。即n+1个1,n-1个0组成的2n位数比对应一个不合法的n个1,n个0组成的2n位数!

 

 

 

 

 

 

 

例如:11000100

对应:11000011

在第5位出现异常,此序列不合法!

所以f(n)=C(2n,n)-C(2n,n+1)

此题的结果为:(C(16,8)-C(16,9))*8!*8!(前后两个8是,5元,10元人的全排列)

 

 

 

 

 

卡特兰数的另类递推公式:

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/h(n-1)

h(n)=C(2n,n)/(n+1);


<think>好的,用户想了解卡特兰与栈的关系和应用,包括公式、应用场景和实现方法。首先,我需要回忆卡特兰的基本定义和公式,确保正确性。根据引用[1]和[3],卡特兰在组合学中有多种应用,包括栈排序问题。 卡特兰递推公式和通项公式是关键。引用[3]提到递推关系是分治思想,f(n) = Σf(k-1)f(n-k)对k求和。而通项公式应该是C(n) = (1/(n+1))C(2n, n),需要确认是否正确,同时引用[4]中的组合计算可能相关。 接下来是栈的应用场景。栈的合法出栈序列目是经典的卡特兰应用,比如n个元素的进栈和出栈顺序。需要解释具体场景,比如可能的出栈序列目等于第n个卡特兰。引用[3]中的例子提到将k作为分界点,用乘法原理计算,所以可能需要详细说明这个过程。 实现方法部分,用户可能需要递归或动态规划的代码示例。引用[4]中的组合计算代码可能可以借鉴,但需要调整以计算卡特兰。另外,可能需要给出递推实现的代码,或者直接使用通项公式计算。 还要注意引用来源,用户提供的引用[1]、[3]、[4]都涉及卡特兰的定义和应用,需要正确对应到回答中。比如,引用[3]详细解释了递推关系,而引用[1]提到栈排序问题,这些都是关键点。 需要检查是否有遗漏的应用场景,比如除了出栈序列,是否还有其他栈相关的应用,比如括号匹配,但用户可能只关注栈的应用,所以重点放在出栈序列上。 最后,确保使用正确的中文表达,公式用$...$和$$...$$格式,代码块用正确语法。例如,递推公式用行内公式,通项公式用独立公式。代码示例可能需要展示如何计算卡特兰,比如递归或动态规划方法。 总结步骤:先介绍卡特兰的定义和公式,再详细说明其在栈中的应用场景(如出栈序列目),最后给出实现方法,可能包括递推或组合计算的代码,并正确引用相关来源。</think>### 卡特兰与栈的关系及应用 #### 1. 卡特兰公式 卡特兰的定义和公式可通过以下方式表达: - **递推公式**: $$C_0 = 1,\quad C_{n+1} = \sum_{i=0}^{n} C_i C_{n-i} \quad (n \geq 0)$$ 例如,$C_1 = C_0C_0 = 1$,$C_2 = C_0C_1 + C_1C_0 = 2$,依此类推[^1][^3]。 - **通项公式**: $$C_n = \frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}$$ 其中 $\binom{2n}{n}$ 是组合,表示从 $2n$ 个元素中选 $n$ 个的方式[^4]。 --- #### 2. 栈中的应用场景 卡特兰在**合法出栈序列**问题中有核心应用: - **问题描述**:假设元素按顺序 $1,2,\dots,n$ 依次入栈,允许任意时刻出栈,求合法的出栈序列总。 - **学对应**:此问题等价于求第 $n$ 个卡特兰 $C_n$。例如,当 $n=3$ 时,有 $C_3=5$ 种合法出栈序列。 **原理分析**: 递推关系来源于分治思想。假设元素 $k$ 是最后一个出栈的,则: 1. 元素 $1,2,\dots,k-1$ 的出栈序列有 $C_{k-1}$ 种。 2. 元素 $k+1,\dots,n$ 的出栈序列有 $C_{n-k}$ 种。 总为 $\sum_{k=1}^{n} C_{k-1}C_{n-k}$,即卡特兰递推公式。 --- #### 3. 实现方法 ##### (1) 动态规划实现 通过递推公式计算卡特兰: ```python def catalan(n): dp = [0] * (n+1) dp[0] = 1 for i in range(1, n+1): for j in range(i): dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1] return dp[n] ``` ##### (2) 组合公式实现 利用通项公式计算: ```python from math import comb def catalan(n): return comb(2*n, n) // (n + 1) ``` --- #### 4. 扩展应用 除出栈序列外,卡特兰还应用于: - **括号匹配**:$n$ 对括号的合法排列为 $C_n$。 - **二叉树结构**:$n$ 个节点构成的不同二叉搜索树量为 $C_n$[^3]。 ---
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