1315：【例4.5】集合的划分

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本文介绍了一个关于集合划分的算法问题，旨在求解将n个元素的集合S划分成k个非空子集的方法数。通过定义递归关系和边界条件，实现了一种高效的算法来计算S(n,k)，即Stirling数的第二类。

1315：【例4.5】集合的划分

【题目描述】
设S是一个具有n个元素的集合，S＝⟨a1，a2，……，an⟩，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，Sk ，且满足：

1．Si≠∅
2．Si∩Sj＝∅ (1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S
则称S1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，an 放入k个(0＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定n个元素a1，a2，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入】
给出n和k。

【输出】
n个元素a1，a2，……，an 放入k个无标号盒子中去的划分数S(n,k)。

【输入样例】
10 6
【输出样例】
22827

分析：

1、递归关系 :分类：设f(n,k),一个元素只有两种情况
（1）该元素是一个子集，那么其他n-1个元素要分成k-1个子集,即f(n-1,k-1)；
（2）该元素只一个子集元素，那么其他n-1个元素要分成k个子集，这个元素可能其中任何子集一个元素，kf(n-1,k);
f(n,k)=f(n-1,k-1)+kf(n-1,k);
2、边界条件：
当k=0，或k>n时只有0种分法。
当k=1,或k=n时，只有1种分法。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

long long f(int n,int k){
	if(k>n || k==0) return 0;
	if(k==n || k==1) return 1;
	return f(n-1,k-1)+k*f(n-1,k);
}
int main(){
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	cout<<f(n,k);
	return 0;
}