信息学奥赛一本通：1315【例4.5】集合的划分

【题目描述】

设S是一个具有nn个元素的集合，S＝⟨a1，a2，……，an⟩S＝⟨a1，a2，……，an⟩，现将S划分成k个满足下列条件的子集合S1，S2，……，SkS1，S2，……，Sk ，且满足：

1．Si≠∅Si≠∅

2．Si∩Sj＝∅Si∩Sj＝∅ (1≤i，j≤k，i≠j1≤i，j≤k，i≠j)

3．S1∪S2∪S3∪…∪Sk＝SS1∪S2∪S3∪…∪Sk＝S

则称S1，S2，……，SkS1，S2，……，Sk是集合S的一个划分。它相当于把S集合中的n个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个(0＜k≤n＜300＜k≤n＜30)无标号的盒子中，使得没有一个盒子为空。请你确定nn个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个无标号盒子中去的划分数S(n,k)S(n,k)。

【输入】

给出nn和kk。

【输出】

nn个元素a1，a2，……，ana1，a2，……，an 放入kk个无标号盒子中去的划分数S(n,k)S(n,k)。

【输入样例】

10 6

【输出样例】

22827

【题目分析】

1、明确函数意义：s(n,k)表示n个元素放置在k个无标号盒子中的划分数

2、边界条件：k=n表示有n个元素和n个盒子，盒子是无标号的，所以只有1种；如果k>n,不能保证盒子为空，0种；如果k=0，0种；如果k=1，只有一个盒子，1种。

3、递归关系：当k<n,即元素数多于盒子数，分两种情况，假设第n个元素a(n),放置在某一个盒子内，单独占用一个盒子，注意盒子没有标号，剩下的n-1个元素放置在k-1个盒子内，共有s(n-1,k-1)种放置方法；第二种情况是，a(n)必须与其他元素共用盒子，这种情况下，n-1个元素已经放置在k个盒子内，共有s(n-1,k)种方法，对于某一种方法，a(n)可以放置在k个盒子的任意一个中，且原来k个盒子内的元素互不相同，所以共有k种方法。所以第二种情况有k* s(n-1,k)种方法。所以递推关系是：

s(n,k)=s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long s(int n,int k){
   if(n<k) return 0;
   if(n==k) return 1;
   if(k==0) return 0;
   if(k==1) return 1;
   return s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k);

}
int main(){
   int n,k;
   cin>>n>>k;
   cout<<s(n,k)<<endl;

    return 0;
}