【高等数学】【第四章强化】多元函数微分学

一. 内容精讲

【高等数学】【第四章】【知识点与题型总结】：多元函数微分学

 

二. 常见题型

1. 重积分、连续、偏导数、全微分（概念、理论）

1.1 讨论连续性、可导性、可微性

题型一：利用定义判断：连续、偏导、可微

1. 连续：夹逼准则
2. 偏导：定义：
3. 可微：定义：找一个反例

 

D

 

可微定义法与举例法

1. 连续和偏导都不是可微的充分条件 A：是连续、B是偏导
2. C：变换成全微分定义：

如何证明偏导连续：此题无法证明。

更直接的方法：

是分母的高阶无穷小，所以可微

 

 

凑微分形式:

 

求△极限的技巧

1. 利用偏导定义：
2. 微分定义+技巧
   

 

2. 偏导与全微分计算

2.1. 题型一：求一点处的偏导数与全微分

分段函数要用定义求偏导

 

具体函数求偏导的技巧

:一阶偏导：先带后求、高阶偏导：先求后代再求

 

 

先带后求导i
 

2.2. 题型二：求给出具体表达式函数的偏导数与全微分

直接求导

直接求导

 

幂指函数求导

 

求原函数

对：

 

1. 二阶混合到求原函数方法
   

 

题型记忆

 

2.3. 题型三：(含有抽象函数的)复合函数偏导数与全微分

1. 复合函数求导：两部分都含有x，则分别导。
2. 复合函数全微分的形式。$f_1^{{}^{\prime }}$对应dx，$f_2^{{}^{\prime }}$对应dy
   

 

B

1. 对x求导，y作为常数。对积分求导，积分上下线不能有积分变量。
2. 二阶导类似

 

 

基础训练：ab+a。

 

带入求导比较直观

 

再来一次，计算难度大

 

替换x，y带入原式，正常求偏导。

 

多元微分+二阶微分方程求原函数

 

极坐标求导

 

2.4. 题型四. 隐函数（方程组）的偏导数与全微分

方程求导公式

1. 两边求导
   
2. 隐函数求导公式（没有具体函数时使用）
   

 

隐函数+方程联合

4.

5. 相同思路

 

 

三. 极值与最值

1. 求无条件极值

 

非条件极值

1. 求驻点、二阶导，带入驻点，判断AC-B的关系
   
2. 加上未知数讨论分析：
   

 

条件极值

3. 方程两边求导，得一阶导，以及驻点。继续两边求导，得ABC，进行判断。

 

其他

5. D

6. -*****-
   

 

2. 求最值

 

条件最值

1. 分别求在D内、边界（消掉x）的驻点，边界点的值，对比大小。
   

 

不在区域内的最值：构造拉格朗日

 

 

几何应用

6.