【计算机算法与设计（9）】理解 NP 完全问题的特性，判定是否属于 NP 类问题，利用规约方法证明 NP 完全问题

要点9：理解 NP 完全问题的特性，能够证明一个判定型问题是否属于 NP 类问题，可以利用规约方法证明一个问题是否是 NP 完全问题

📌 适合对象：算法学习者、计算机科学学生
⏱️ 预计阅读时间：80-90分钟
🎯 学习目标：理解NP完全问题的特性，掌握如何证明一个判定型问题属于NP类，掌握如何用规约方法证明一个问题是否是NP完全问题
📚 参考PPT：第 13 章-PPT-N2（NP完全问题）- NP类、NP完全问题、多项式归约相关内容

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📚 学习路线图

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本文内容一览（快速理解）

1. 判定型问题和优化型问题：判定型问题的答案只有是或否，优化型问题要求最优数值
2. P类和NP类：P类是多项式时间可判定的问题，NP类是多项式时间可检验的问题
3. NP完全问题：NP类中最难的问题，如果有一个NP完全问题有多项式算法，则P=NP
4. 多项式归约：证明问题难度的工具，如果${\pi }_1{\le }_p{\pi }_2$，则${\pi }_2$至少和${\pi }_1$一样难
5. 证明方法：如何证明一个问题属于NP类，如何用规约方法证明NP完全性

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一、预备知识（Preliminaries）：理解问题分类

这一章要建立的基础：理解判定型问题和优化型问题的区别，理解如何将优化型问题转化为判定型问题。

核心问题：如何对问题进行分类？判定型问题和优化型问题有什么关系？

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[!NOTE]
📝 关键点总结：如果一个问题的答案只有两种，是(yes)或否(no)，则称为一个判定型问题。一个问题被称为优化型问题，如果这个问题的解对应于一个最优的数值。在我们后续讨论P类、NP类以及NPC类问题时，我们限定所有被分类的问题都是判定型问题。

1.1 判定型问题和优化型问题（Decision vs Optimization Problems）

概念的本质：

判定型问题（Decision Problem）：

• 答案只有两种：是(yes)或否(no)
• 例如：判断"一个图是否存在一条哈密尔顿回路"

优化型问题（Optimization Problem）：

• 问题的解对应于一个最优的数值
• 通常要求找到最长、最短、最大、最小、最高、最低、最重、或最轻等
• 例如：在两点之间找一条最短路径

关系：

• 一个优化型问题往往可对应于一个判定型问题
• 如果判定型问题有多项式算法，那么其对应的优化型问题也往往有多项式算法

图解说明：

💡 说明：只限于判定型问题的讨论不会影响NPC理论的应用价值，因为一个优化型问题往往可对应于一个判定型问题。这一限制不仅简化了对NPC问题理论的讨论，并且突出了问题的本质。

实际例子：

优化型问题 → 判定型问题：

优化型问题：
给定有向图G(V, E)和两个顶点s和t，找出一条从s到t的简单路径，并使它含有的边数最多。

对应的判定型问题：
给定正整数k和有向图G(V, E)，以及两个顶点s和t，是否存在一条包含至少k条边的从s到t的简单路径？

如果判定型问题有多项式算法A(G, s, t, k)，则优化型问题的算法：
1. 用二分搜索找到最大的k，使得A(G, s, t, k) = yes
2. 逐步删除边，保持路径长度≥k，得到具体路径

 

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1.2 判定型问题的形式语言表示（Formal Language Representation）

概念的本质：

字符集和语言：

• 给定字符集$\Sigma$，它的所有字符串的集合，包括空串$\lambda$，称之为$\Sigma$的全语言，记为${\Sigma }^{\ast }$
• 例如： Σ = { 0 , 1 } \Sigma = \{0, 1\} Σ={0,1}， Σ ∗ = { λ , 0 , 1 , 00 , 01 , 10 , … } \Sigma^* = \{\lambda, 0, 1, 00, 01, 10, \ldots\} Σ∗={λ,0,1,00,01,10,…}
• 给定字符集$\Sigma$，它的全语言的一个子集$L\subseteq {\Sigma }^{\ast }$称为定义在$\Sigma$之上的一种语言

判定型问题的语言表示：

• 一个判定型问题$\pi$的实例可以用一个0和1组成的字符串$x$表示
• 给定一个字符串$x$，存在三种情况：
  1. $x$是问题$\pi$的一个实例并且有答案yes：$\pi (x)=1$
  2. $x$是问题$\pi$的一个实例并且有答案no：$\pi (x)=0$
  3. $x$不是问题$\pi$的一个实例：$\pi (x)=0$

定义14.3：给定一个判定型问题$\pi$，它对应的语言$L(\pi )$是所有其答案均为yes的实例的字符串编码的集合，即 L ( π ) = { x ∣ x ∈ Σ ∗  and  π ( x ) = 1 } L(\pi) = \{x | x \in \Sigma^* \text{ and } \pi(x) = 1\} L(π)={x∣x∈Σ∗ and π(x)=1}。

图解说明：

💡 说明：例如，哈密尔顿回路问题对应的语言可表示为： H a m i l t o n − C y c l e = { < G > ∣ G  含有哈密尔顿回路 } Hamilton-Cycle = \{<G> | G \text{ 含有哈密尔顿回路}\} Hamilton−Cycle={<G>∣G 含有哈密尔顿回路}。这里，$<G>$表示一个实例图的编码字符串。串的长度会随着顶点和边的个数增长而增长，但通常是线性的或低阶多项式的。

实际例子：

形式语言表示示例：

问题：判断图G是否有哈密尔顿回路

实例编码：
图G可以用邻接矩阵或邻接表编码为字符串<G>

语言：
L(Hamilton-Cycle) = {<G> | G含有哈密尔顿回路}

如果G有哈密尔顿回路：
  <G> ∈ L(Hamilton-Cycle)
  π(<G>) = 1

如果G没有哈密尔顿回路：
  <G> ∉ L(Hamilton-Cycle)
  π(<G>) = 0

 

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1.3 多项式归约（Polynomial Reduction）：问题难度的比较

概念的本质：

定义14.6：给定两个语言$L_1$和$L_2$，如果存在一个算法$f$，它把${\Sigma }^{\ast }$中每一个字符串$x$转换为另一个字符串$f(x)$，并且满足：

1. $x\in L_1$当且仅当$f(x)\in L_2$
2. $f$是个多项式算法，即转换在$|x{|}^c$的时间内完成，$c$是一个正常数

那么，我们说$L_1$可多项式归约到$L_2$，记为$L_1{\le }_p{L}_2$，并称$f$为多项式转换函数或算法。

定义14.7：假设问题${\pi }_1$和${\pi }_2$对应的语言是$L({\pi }_1)$和$L({\pi }_2)$。如果语言$L({\pi }_1)$可以多项式归约到语言$L({\pi }_2)$，则称问题${\pi }_1$可以多项式归约到问题${\pi }_2$，记为${\pi }_1{\le }_p{\pi }_2$。

含义：

• 从问题的角度看，${\pi }_1{\le }_p{\pi }_2$意味着${\pi }_1$的任何实例$x$被一个多项式转换算法$f$变成${\pi }_2$的一个实例$f(x)$，并且${\pi }_1(x)=yes$当且仅当${\pi }_2(f(x))=yes$

图解说明：

💡 说明：如果问题${\pi }_1$可多项式归约到问题${\pi }_2$，那么从多项式可解的角度看，可以认为，问题${\pi }_2$比${\pi }_1$更难，因为找到${\pi }_2$的多项式算法就可以找到${\pi }_1$的多项式算法。实际运用的时候，通常是把一个已知的NP完全问题规约到你所研究的问题上，从而证明你所研究的问题也是NP完全的。

实际例子：

多项式归约示例：

问题π₁：判断图G是否有三角形（3个顶点形成的完全子图）
问题π₂：判断图G是否有k团（k个顶点形成的完全子图）

归约：
f(G) = (G, k=3)
- 如果G有三角形，则(G, 3)有3团
- 如果G没有三角形，则(G, 3)没有3团
- 转换时间：O(1)

因此：π₁ ≤p π₂

 

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二、P类和NP类（P and NP Classes）：问题复杂度的分类

这一章要建立的基础：理解P类和NP类的定义，理解它们之间的关系。

核心问题：什么是P类问题？什么是NP类问题？它们有什么关系？

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[!NOTE]
📝 关键点总结：P语言类(class P)是所有可以被一个算法在多项式时间内判定的语言的集合。NP语言类(class NP)是所有可以被非确定图灵机在多项式时间内接收的语言的集合。定理14.3：$P\subseteq NP$。

2.1 P类（Class P）：多项式时间可判定

概念的本质：

定义14.8：P语言类(class P)是所有可以被一个算法在多项式时间内判定的语言的集合，即 P = { L ∣ L ⊆ Σ ∗  可被一多项式算法所判定 } P = \{L | L \subseteq \Sigma^* \text{ 可被一多项式算法所判定}\} P={L∣L⊆Σ∗ 可被一多项式算法所判定}。

含义：

• 如果语言$L$可以被一个算法在多项式时间内判定，那么$L$被称为属于P类的一个语言
• 如果问题$\pi$对应的语言$L(\pi )$属于P类，那么问题$\pi$也称为P类问题

定理14.2：如果语言$L$可以被一个算法在多项式时间内接收，那么$L$就一定可以被一个算法在多项式时间内判定。

图解说明：

💡 说明：P类问题通常被称为"可驾驭的"(tractable)问题，即有高效算法可以求解的问题。例如：排序问题、最短路径问题（Dijkstra算法）、最小生成树问题（Kruskal/Prim算法）等都属于P类。

实际例子：

P类问题示例：

1. 排序问题：
   输入：n个数字
   判定：是否存在排序后的序列？
   算法：快速排序，O(n log n) ✓

2. 最短路径问题：
   输入：图G，源点s，目标点t，距离k
   判定：是否存在从s到t的路径长度≤k？
   算法：Dijkstra算法，O(n²)或O(m log n) ✓

3. 最小生成树问题：
   输入：图G，权值k
   判定：是否存在生成树总权值≤k？
   算法：Kruskal/Prim算法，O(m log n) ✓

 

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2.2 NP类（Class NP）：多项式时间可检验

概念的本质：

非确定图灵机（Non-Deterministic Turing Machine）：

• 与确定的图灵机的唯一区别就是状态转移函数$\delta$
• 在确定的图灵机中，$\delta$把$(q,a)$映射到唯一的三元组$(q^{\prime },a^{\prime },D)$
• 在非确定的图灵机中，转移函数$\delta$把$(q,a)$映射到有多个三元组的一个集合上

定义14.9：如果语言$L$的每一个字符串$x\in L$都可以被一个非确定图灵机$M$在多项式时间内接收，即存在一个多项式长度（$<|x{|}^c$）的计算路径，那么语言$L$称为是一个被非确定的图灵机在多项式时间内接收的语言。

定义14.10：NP语言类(class NP)是所有可以被非确定图灵机在多项式时间内接收的语言的集合，即 N P = { L ∣ L ⊆ Σ ∗  可被一个非确定图灵机在多项式时间内接收 } NP = \{L | L \subseteq \Sigma^* \text{ 可被一个非确定图灵机在多项式时间内接收}\} NP={L∣L⊆Σ∗ 可被一个非确定图灵机在多项式时间内接收}。

图解说明：

💡 说明：需要注意的是，这里我们只要求一个NP类语言被一个非确定图灵机在多项式时间内接收，而不是判定。这是因为要判定$x\notin L$需要证明"不存在一条多项式长的计算路径，能进入接收状态"，而这样的路径数目是$|x|=n$的指数函数。NP: Non-deterministic Polynomial，即：多项式复杂程度的非确定性问题。

实际例子：

NP类问题示例：

1. 哈密尔顿回路问题：
   输入：图G
   判定：是否存在哈密尔顿回路？
   非确定算法：猜测一个顶点序列，验证是否是回路 ✓

2. 可满足性问题（SAT）：
   输入：布尔表达式
   判定：是否存在赋值使得表达式为真？
   非确定算法：猜测赋值，验证表达式值 ✓

3. 顶点覆盖问题：
   输入：图G，整数k
   判定：是否存在k个顶点的覆盖？
   非确定算法：猜测k个顶点，验证是否覆盖所有边 ✓

 

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2.3 多项式检验算法（Polynomial Verification Algorithm）：NP类的等价定义

概念的本质：

定义14.11：一个语言$L$称为一个多项式时间可检验的语言，如果存在一个(确定的)图灵机$T$使得$x\in L$当且仅当存在一个字符串$y$，$|y|\le |x{|}^c$，使字符串$(x,y)$被$T$在多项式时间内所接收，即$T(x,y)=1$。这里，$c$是一个正常数，$y$称为$x$的证书，而$T$称为$L$的多项式检验机。

NP-算法（多项式检验算法）：

• 如果存在一个算法$A$使得$x\in L$当且仅当存在一个字符串$y$，$|y|\le |x{|}^c$，使字符串$(x,y)$被算法$A$在多项式时间内所接收，那么语言$L$是一个多项式时间可检验的语言，算法$A$称为$L$的多项式检验算法，或NP-算法

等价性：

• 多项式检验机的计算模型与非确定图灵机等价
• 一个NP类语言$L$也就是一个多项式时间可检验的语言，反之亦然

图解说明：

💡 说明：在证明一个问题$\pi$是NP类问题时，可设计一个NP-算法$A$，它检验$\pi$的每一个实例$x$，在这个实例有yes答案时，它在多项式时间内输出$A(x,y)=1$。这里，$y$是能证明$\pi (x)=yes$的证书，$|y|\le |x{|}^c$。一个问题$\pi$的NP-算法，不是它的多项式算（解）法，而是多项式检验算法。

实际例子：

多项式检验算法示例：

问题：判断有向图G(V, E)是否有哈密尔顿回路

证书：顶点序列p = (v₁, v₂, ..., vₙ)

检验算法：
Hamilton-Cycle-Verification(G(V, E), p)
1. 检查是否有|p| = |V|
2. 检查p中每个顶点是否属于集合V
3. 检查V中每个顶点是否在p中出现，并且只出现一次
4. 检查从p中每个顶点到下个顶点是否是E中一条边
5. 检查从p的最后一个顶点到p的第一个顶点是否是E中一条边
6. 如果第1步到第5步的答案都是yes，那么输出1
End

复杂度：O(n²)，多项式时间 ✓
因此：哈密尔顿回路问题 ∈ NP

 

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2.4 P和NP的关系（Relationship between P and NP）

概念的本质：

定理14.3：$P\subseteq NP$。

证明：因为一个确定的图灵机可看作一个非确定图灵机的一个特例，只是它的转移函数$\delta (q,a)$是只含单个三元组的一个集合，所以有$P\subseteq NP$。

P vs NP问题：

• 目前还不知道是否$P=NP$或$P\ne NP$
• 这是计算机科学中最重要的未解决问题之一
• 大部分人相信$P\ne NP$，但有待证明

图解说明：

💡 说明：如果$P=NP$，那么所有NP类问题都可以在多项式时间内求解，这意味着许多目前被认为困难的问题（如密码学、优化问题等）都可以高效求解。如果$P\ne NP$，那么NP完全问题没有多项式算法，只能使用近似算法或启发式算法。

实际例子：

P和NP的关系：

已知：
- P ⊆ NP（定理14.3）
- 许多问题已知属于P（排序、最短路径等）
- 许多问题已知属于NP但不知道是否属于P（哈密尔顿回路、SAT等）

未知：
- P = NP 还是 P ≠ NP？
- 如果P = NP，则所有NP问题都有多项式算法
- 如果P ≠ NP，则NP完全问题没有多项式算法

影响：
- 密码学：如果P = NP，许多加密算法可能不安全
- 优化问题：如果P = NP，许多优化问题可以高效求解

 

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三、NP完全问题（NP-Complete Problems）：NP类中最难的问题

这一章要建立的基础：理解NP完全问题的定义和特性，理解如何证明一个问题是否是NP完全的。

核心问题：什么是NP完全问题？如何证明一个问题是否是NP完全的？

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[!NOTE]
📝 关键点总结：简单来讲，NP-完全问题就是NP类中最难的问题。如果有一个NP-完全问题有多项式算法可以求解，那么所有NP类问题都会有多项式算法。一个语言$L$被称为NP-完全(NP-complete)语言，如果它满足以下两个条件：(1) $L\in NP$，(2) NP类中任何一个语言$L^{\prime }$都可以多项式归约到$L$，即$L^{\prime }{\le }_{p}L$。

3.1 NP完全问题的定义（Definition of NP-Complete）

概念的本质：

定义14.12：一个语言$L$被称为NP-完全(NP-complete)语言，如果它满足以下两个条件：

1. $L\in NP$
2. NP类中任何一个语言$L^{\prime }$都可以多项式归约到$L$，即$L^{\prime }{\le }_{p}L$

NP-难（NP-hard）：

• 如果一个语言$L$只满足定义14.12中第2个条件，那么$L$被称为一个NP-难(NP-hard)语言
• 如果一个问题$\pi$所对应的语言$L(\pi )$是NP-完全（或NP-难），那么问题$\pi$则被称为是一个NP-完全问题（或NP-难问题）
• 一个NP-完全问题显然也是一个NP-难问题

定义14.13：NP-完全语言类是所有NP-完全语言的集合，简称为NPC类，即 N P C = { L ∣ L  是一个NP-完全语言 } NPC = \{L | L \text{ 是一个NP-完全语言}\} NPC={L∣L 是一个NP-完全语言}。

图解说明：

💡 说明：NP完全问题就是NP类中最难的问题。如果有一个NP完全问题有多项式算法可以求解，那么所有NP类问题都会有多项式算法。这是因为任何NP问题都可以多项式归约到NP完全问题，而NP完全问题有多项式算法，所以所有NP问题都有多项式算法。

实际例子：

NP完全问题示例：

1. 可满足性问题（SAT）：
   - 第一个被证明的NP完全问题（Cook定理，1971）
   - 输入：布尔表达式
   - 判定：是否存在赋值使得表达式为真？

2. 哈密尔顿回路问题：
   - 输入：图G
   - 判定：是否存在哈密尔顿回路？
   - 证明：可以通过SAT归约证明

3. 顶点覆盖问题：
   - 输入：图G，整数k
   - 判定：是否存在k个顶点的覆盖？
   - 证明：可以通过3-SAT归约证明

 

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3.2 NP完全问题的重要性（Importance of NP-Complete Problems）

概念的本质：

定理14.4：任何一个NPC语言有多项式判定算法当且仅当$P=NP$。

证明：

• 如果某个NPC语言$L$有多项式算法来判定，那么$L\in P$
• 又因为$L\in NPC$，任何一个NP语言$L^{\prime }$可以多项式归约到$L$，即$L^{\prime }{\le }_{p}L$
• 由定理14.1，$L^{\prime }$可以被一个多项式算法所判定，所以有$L^{\prime }\in P$
• 这就意味着$NP\subseteq P$，但由定理14.3，$P\subseteq NP$，所以得到$P=NP$
• 反之，如果$P=NP$，那么因为$NPC\subseteq NP=P$，所以任何一个NPC语言$L$有多项式算法判定

推论14.5：如果一个NPC语言$L$没有多项式算法，那么$P\cap NPC=\varnothing$。

图解说明：

💡 说明：到目前为止，人们还不知道是否有一个NPC语言$L$可以被一多项式算法所判定，也没有能够证明任何一个NPC语言$L$不可能被一多项式算法所判定。因此，集合$P$、$NP$、和$NPC$的关系有两种可能，但大部分人相信$P\ne NP$（即$P\subset NP$，$NPC\subset NP$），但有待证明。

实际例子：

NP完全问题的重要性：

如果P = NP：
- 所有NP问题都有多项式算法
- 密码学可能不安全
- 许多优化问题可以高效求解
- 人工智能可能更容易

如果P ≠ NP（大多数人相信）：
- NP完全问题没有多项式算法
- 只能使用近似算法或启发式算法
- 需要接受近似解或指数时间算法
- 这是当前计算复杂性理论的基础假设

 

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3.3 如何证明一个问题属于NP类（How to Prove a Problem is in NP）

概念的本质：

证明步骤：

1. 设计证书：为问题的每个yes实例设计一个证书$y$，$|y|\le |x{|}^c$
2. 设计检验算法：设计一个多项式时间的检验算法$A(x,y)$
3. 证明正确性：
   • 如果$\pi (x)=yes$，则存在证书$y$使得$A(x,y)=1$
   • 如果$\pi (x)=no$，则不存在证书$y$使得$A(x,y)=1$
4. 证明复杂度：证明检验算法$A$的时间复杂度是多项式的

图解说明：

💡 说明：在证明一个问题$\pi$是NP类问题时，可设计一个NP-算法$A$，它检验$\pi$的每一个实例$x$，在这个实例有yes答案时，它在多项式时间内输出$A(x,y)=1$。这里，$y$是能证明$\pi (x)=yes$的证书，$|y|\le |x{|}^c$。

实际例子：

证明哈密尔顿回路问题属于NP类：

问题：判断有向图G(V, E)是否有哈密尔顿回路

步骤1：设计证书
- 证书y：顶点序列p = (v₁, v₂, ..., vₙ)，其中n = |V|
- |y| = O(n)，满足|y| ≤ |x|^c

步骤2：设计检验算法
Hamilton-Cycle-Verification(G(V, E), p)
1. 检查是否有|p| = |V|
2. 检查p中每个顶点是否属于集合V
3. 检查V中每个顶点是否在p中出现，并且只出现一次
4. 检查从p中每个顶点到下个顶点是否是E中一条边
5. 检查从p的最后一个顶点到p的第一个顶点是否是E中一条边
6. 如果第1步到第5步的答案都是yes，那么输出1
End

步骤3：证明正确性
- 如果G有哈密尔顿回路，则存在证书p使得算法输出1
- 如果G没有哈密尔顿回路，则不存在证书p使得算法输出1

步骤4：证明复杂度
- 步骤1：O(1)
- 步骤2：O(n)
- 步骤3：O(n)
- 步骤4：O(n)
- 步骤5：O(1)
- 总复杂度：O(n²)，多项式时间 ✓

因此：哈密尔顿回路问题 ∈ NP

 

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3.4 如何证明一个问题是否是NP完全的（How to Prove NP-Completeness）

概念的本质：

证明步骤：

1. 证明属于NP类：证明问题$\pi$属于NP类（见3.3节）
2. 选择已知NPC问题：选择一个已知的NP完全问题${\pi }^{\prime }$
3. 构造归约：构造一个多项式时间的转换函数$f$，将${\pi }^{\prime }$的实例转换为$\pi$的实例
4. 证明归约正确性：
   • 证明：${\pi }^{\prime }(x)=yes$当且仅当$\pi (f(x))=yes$
   • 证明：转换函数$f$是多项式时间的
5. 得出结论：由于${\pi }^{\prime }{\le }_p\pi$且${\pi }^{\prime }$是NP完全的，所以$\pi$也是NP完全的

图解说明：

💡 说明：实际运用的时候，通常是把一个已知的NP完全问题规约到你所研究的问题上，从而证明你所研究的问题也是NP完全的。这是因为如果${\pi }^{\prime }{\le }_p\pi$且${\pi }^{\prime }$是NP完全的，那么对于任何NP问题$L$，有$L{\le }_p{\pi }^{\prime }{\le }_p\pi$，所以$L{\le }_p\pi$，因此$\pi$也是NP完全的。

实际例子：

证明顶点覆盖问题是NP完全的：

步骤1：证明顶点覆盖问题 ∈ NP
- 证书：k个顶点的集合S
- 检验算法：检查S是否覆盖所有边
- 复杂度：O(m)，多项式时间 ✓

步骤2：选择已知NPC问题
- 选择：3-SAT问题（已知是NP完全的）

步骤3：构造归约
- 给定3-SAT实例：布尔表达式φ，有m个子句
- 构造图G：
  - 对每个变量xᵢ，创建两个顶点xᵢ和¬xᵢ
  - 对每个子句Cⱼ = (l₁ ∨ l₂ ∨ l₃)，创建3个顶点
  - 连接边：子句顶点与对应文字顶点相连
- 设置k = m + 变量数

步骤4：证明归约正确性
- 如果3-SAT有解，则存在k个顶点的覆盖
- 如果图G有k个顶点的覆盖，则3-SAT有解
- 转换时间：O(m)，多项式时间 ✓

步骤5：结论
- 顶点覆盖问题是NP完全的 ✓

 

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📝 本章总结

核心要点回顾：

1. 判定型问题和优化型问题：

   • 判定型问题：答案只有是或否
   • 优化型问题：要求最优数值
   • 优化型问题可以转化为判定型问题

2. P类和NP类：

   • P类：多项式时间可判定的问题
   • NP类：多项式时间可检验的问题
   • $P\subseteq NP$（定理14.3）
   • 未知：$P=NP$还是$P\ne NP$？

3. NP完全问题：

   • 定义：$L\in NP$且$\forall L^{\prime }\in NP,L^{\prime }{\le }_{p}L$
   • 特性：如果有一个NP完全问题有多项式算法，则$P=NP$
   • 重要性：NP类中最难的问题

4. 证明方法：

   • 证明属于NP类：设计证书和多项式检验算法
   • 证明NP完全性：证明属于NP类 + 将已知NPC问题归约到该问题

5. 多项式归约：

   • 如果${\pi }_1{\le }_p{\pi }_2$，则${\pi }_2$至少和${\pi }_1$一样难
   • 如果找到${\pi }_2$的多项式算法，则${\pi }_1$也有多项式算法

知识地图：

关键决策点：

• 如何证明问题属于NP类：设计证书和多项式检验算法
• 如何证明问题是NP完全的：证明属于NP类 + 将已知NPC问题归约到该问题
• 如何选择归约的源问题：选择与目标问题结构相似的已知NPC问题
• 如何构造归约：将源问题的实例转换为目标问题的实例，保持答案的一致性

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💡 延伸学习：NP完全问题是计算复杂性理论的核心，掌握它们有助于我们：

1. 理解问题的计算难度
2. 选择合适的算法策略（精确算法 vs 近似算法 vs 启发式算法）
3. 为研究新的计算问题提供理论基础