【高等数学】【第三章强化】一元函数积分学：（1）不定积分、（2）定积分、（3）反常积分、（4）定积分的（几何、物理）应用（ing）

一. 要点说明

【高等数学】第三章知识点（1）一元函数积分学：不定积分

【高等数学】第三章知识点（2）一元函数积分：定积分与反常积分、与几何应用

 

二. 常见题型

1. 不定积分（见三大积分）

题型一：计算不定积分

题型二：不定积分杂例

 

2. 定积分

题型一：定积分的概念、性质及几何意义

利用积分中值定理

 

题型二：定积分的计算

 

题型三：变上限函数及其应用

积分性质：第一类间断点不影响积分函数的连续性

第一个类间断点：积分连续D。

 

注意原函数要加常数，如果是积分则奇偶会互换。

 

A，因为有原函数有常数，所以偶不一定变为奇

 

方法一：跳跃间断点，原函数连续但不可导。
方法二：注意：原函数的每一个点是从0开始的累加

 

带参函数积分：趋近于0时，可以使用中值定理

1. 换元：被积函数中不能有积分变量
2. 洛必达
3. 积分中值定理（趋近于0），或者再洛必达。

类似题目：

 

简化问题求法

1. 求导=0，说明函数是常数
2. 进一步：分部积分，令x=0。或者根据性质简单画图，快速得出。

类似题目

简化求法
直接根据sinx图像求解，因为e是递增的。

 

1. 求导，求驻点
2. 根据驻点找到极值
3. 唯一极值点就是最值点。

 

g(fx)=x

1. 求导，求fx的原函数
2. f(0)=0，求出C
   注意：互为反函数，嵌套=x
   

 

先对x或t求导

找到导数与原函数之间的关系，

两个未知参数，其中x跟fx有关，所以t可以随意赋值。

 

去除绝对值+偶函数积分性质

一. 设x不变，t改变，那正负就好比较了。

1. 去绝对值号，得变限函数
2. 求两次导：对于积分x作为常数，可以提出来。
   二. 一次导=0+二次导符号，唯一极值点，就是最值
   **************************求解化简 （利用性质：得出结论：偶函数的积分）”
   三. a作为自变量

 

题型四：积分不等式

1. 在0到π/4 中 tanx大于x。
2. 利用积分不等式性质，积分放大，得出和1的关系。
3. 不用求解出，采用排除法即可。

类似题：

25：对比：找1即可

 

3. 反常积分

题型一：反常积分的敛散性

 

25：

1. 有0值：无穷多
2. B：原函数：arcsinx
3. C：正态分布变式
4. D：可积分：凑积分可得
   两点：25

1. 无定义点：等价无穷小与敛散性

 

1. 敛散性的两个结论：a到b，b到无穷；如果两端的值都是无穷，则分区间，单独判断每端的情况
2. 找同敛散性：当趋近于0或无穷时，的等价函数，如果发散则发散
3. 利用上述结论
   

 

同敛散或更大的敛散

 

25 分开两段找极限

 

找不出同敛散性的函数，直接积分

 

4. 定积分的应用（第一道应用大题）

题型一：几何应用

原函数的性质

1. 先求原函数：注意积分的累加。
2. 原函数再进一步积分

 

旋转体体积

利用二重积分极坐标？

 

 
思路和上一样

25

2. 直接是y，不用做替换。被积函数跟面积无关，不用做替换。
3. 直接是x，不用做替换

 

平面图形的面积

分为直角坐标系、极坐标系，还是二重积分比一重积分要简单。

 

25

解题思路：

1. 说明了是对数螺线：按照极坐标的思路画图像：角度+极坐标。
2. 按照习惯规定极轴的方向是水平向右。即x轴。

1. 改成二重积分
2. 找体积因素（某一点到x轴的周长*面积因素）+二重积分（在这个区域中的积分）
   注意和下面的题作对比：利用定积分。什么时候选择定积分、二重积分来求体积。（本题因为是极坐标，所以二重可以）

 

弧长与侧面积

 

25

画图：上下左右边界点，描点法

1. 重点思路:正常面积积分，分别把ydx，分别带入积分方程，积分区间x转t
2. 周长：利用参数的弧长公式

1. 面积：正常一元积分，将y、dx以参数方程的形式带入
2. 弧长：公式
3. 体积：一元积分：找到面积因素，积分
4. 侧面积：公式：直角到参数方程的适配过程要熟悉。

题型二：物理应用