【计算机算法与设计（10）】习题：苹果买卖问题——分治法的经典应用

📖 问题描述：一次买卖，最大化利润

想象你开着一辆车，从城市A到城市B，沿途经过n个苹果市场（编号1到n）。在每个市场i，你都知道：

• 买入价 B[i]：在这个市场买苹果的价格
• 卖出价 S[i]：在这个市场卖苹果的价格

约束条件：

• 车只能往前开，不能往回开
• 只能做一次买卖：在一个市场买入，在之后的市场卖出（$j\ge i$）

目标：找到最优的买入市场i和卖出市场j，使得利润 $S[j]-B[i]$ 最大（如果无法盈利，则最小化亏损）。

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🧠 为什么不能用简单方法？

❌ 错误思路1：贪心法（每次都选最便宜的买，最贵的卖）

问题：最便宜的买入点可能在最贵的卖出点之后，违反了"不能往回开"的约束。

❌ 错误思路2：转化为最大子数组问题

常见错误：有些同学会联想到股票增值问题，试图将问题转化为最大连续子数组问题。

为什么不行：

• 股票问题中，同一天的买入价和卖出价相同，可以转化为价格差数组
• 但本题中，每个市场的买入价和卖出价不同，不能简单转化

例如：市场4的买入价是2元，卖出价是1元，如果在这里买卖会亏损1元，但我们可以在这里买入，到其他市场卖出。

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✅ 正确思路：分治法

分治法的核心思想：将大问题分解为小问题，解决小问题，再合并结果。

分治法的三个步骤

1️⃣ 底（Base Case）：最简单的情况

如果只有一个市场，那么：

• 只能在这个市场买入并卖出
• 利润 = $S[i]-B[i]$

2️⃣ 分（Divide）：将问题一分为二

将区间 $[L,R]$ 分成两个子区间：

• 左半部分：$[L,\text{Mid}]$
• 右半部分：$[\text{Mid}+1,R]$

其中 $\text{Mid}=\lfloor (L+R)/2\rfloor$

$\lfloor \rfloor$:指的是地板函数：取下标。比如： 当L=0，R=5时：(0+5)/2=2.5，⌊2.5⌋=2

3️⃣ 合（Combine）：合并子问题的解

最优解可能出现在三种情况中：

1. 完全在左半部分：在左子区间内买入和卖出
2. 完全在右半部分：在右子区间内买入和卖出
3. 跨越中点：在左半部分买入，在右半部分卖出

关键点：对于跨越中点的情况，最优策略是：

• 在左半部分选择最低的买入价 $B[\text{left}]$
• 在右半部分选择最高的卖出价 $S[\text{right}]$
• 利润 = $S[\text{right}]-B[\text{left}]$

最终答案：从这三种情况中选择利润最大的。

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💻 算法伪代码

算法：D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, R)
输入：买入价数组B[]，卖出价数组S[]，区间[L, R]
输出：最大利润M，买入市场i，卖出市场j

1. if L == R then                    // 底：只有一个市场
2.     M = S[L] - B[L]
3.     i = L, j = L
4.     return (M, i, j)
5. end if

6. else                              // 分：将问题分解
7.     Mid = ⌊(L+R)/2⌋
8.     (ML, IL, JL) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], L, Mid)      // 左子问题
9.     (MR, IR, JR) = D&C-Max-Apple-Profit(B[], S[], Mid+1, R)    // 右子问题
10.    
11.    // 合：合并子问题的解
12.    // 情况3：跨越中点的情况
13.    B[left] = min{B[u] | L ≤ u ≤ Mid}        // 左半部分最低买入价
14.    S[right] = max{S[u] | Mid+1 ≤ u ≤ R}    // 右半部分最高卖出价
15.    Mc = S[right] - B[left]                  // 跨越中点的利润
16.    
17.    // 从三种情况中选择最优
18.    if Mc > max(ML, MR) then
19.        M = Mc, i = left, j = right
20.    else if ML > MR then
21.        M = ML, i = IL, j = JL
22.    else
23.        M = MR, i = IR, j = JR
24.    end if
25.    
26.    return (M, i, j)
27. end else

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🔍 算法执行过程示例

让我们用示例数据演示算法执行过程：

递归树

                    [1,6]
                   /     \
              [1,3]      [4,6]
              /   \      /   \
          [1,2]  [3,3] [4,5] [6,6]
          /   \         /   \
       [1,1] [2,2]  [4,4] [5,5]

自底向上合并过程

第1层（叶子节点）：(底)

• [1,1]: $M=3-5=-2$
• [2,2]: $M=3-4=-1$
• [3,3]: $M=7-8=-1$
• [4,4]: $M=1-2=-1$
• [5,5]: $M=6-7=-1$
• [6,6]: $M=7-9=-2$

第2层：

• [1,2]:

  • 左子问题（1,1）: $M=-2$
  • 右子问题(2,2): $M=-1$
  • 跨越中点: $\min (B[1],B[2])=4$, $\max (S[2])=3$, $M_c=3-4=-1$
  • 最优: $M=-1$ (右子问题或跨越中点)

• [4,5]:

  • 左子问题: $M=-1$
  • 右子问题: $M=-1$
  • 跨越中点: $\min (B[4])=2$, $\max (S[5])=6$, $M_c=6-2=4$
  • 最优: $M=4$ (跨越中点)

第3层：

• [1,3]:

  • 左子问题[1,2]: $M=-1$
  • 右子问题[3,3]: $M=-1$
  • 跨越中点: $\min (B[\mathrm{1..2}])=4$, $\max (S[3])=7$, $M_c=7-4=3$
  • 最优: $M=3$ (跨越中点)

• [4,6]:

  • 左子问题[4,5]: $M=4$
  • 右子问题[6,6]: $M=-2$
  • 跨越中点: $\min (B[\mathrm{4..5}])=2$, $\max (S[6])=7$, $M_c=7-2=5$
  • 最优: $M=5$ (跨越中点)

第4层（根节点）：

• [1,6]:
  • 左子问题[1,3]: $M=3$
  • 右子问题[4,6]: $M=5$
  • 跨越中点: $\min (B[\mathrm{1..3}])=4$, $\max (S[\mathrm{4..6}])=7$, $M_c=7-4=3$
  • 最优: $M=5$ (右子问题)，买入市场4，卖出市场6

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📊 算法复杂度分析

时间复杂度

递推关系：$T(n)=2T(n/2)+O(n)$

求解过程：

• 每次递归将问题分成两个子问题，每个子问题规模为 $n/2$
• 合并步骤需要 $O(n)$ 时间（找最小值和最大值）
• 根据主方法，时间复杂度为 $O(n\log n)$

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⚠️ 常见错误与注意事项

错误2：复杂度分析错误

错误递推式：
$$T(n)=2T(n/2)+O(1)\text{❌ 错误！}$$

错误原因：合并步骤需要处理跨越中点的情况，必须重新扫描整个子区间：

1. 在左半部分 $[L,\text{Mid}]$ 找最低买入价：

   • 需要遍历左半部分的所有元素： B [ left ] = min ⁡ { B [ u ] ∣ L ≤ u ≤ Mid } B[\text{left}] = \min\{B[u] \mid L \leq u \leq \text{Mid}\} B[left]=min{B[u]∣L≤u≤Mid}
   • 左半部分规模：$\text{Mid}-L+1\approx n/2$
   • 时间复杂度：$O(n/2)=O(n)$

2. 在右半部分 $[\text{Mid}+1,R]$ 找最高卖出价：

   • 需要遍历右半部分的所有元素： S [ right ] = max ⁡ { S [ u ] ∣ Mid + 1 ≤ u ≤ R } S[\text{right}] = \max\{S[u] \mid \text{Mid}+1 \leq u \leq R\} S[right]=max{S[u]∣Mid+1≤u≤R}
   • 右半部分规模：$R-(\text{Mid}+1)+1\approx n/2$
   • 时间复杂度：$O(n/2)=O(n)$

3. 总时间：$O(n/2)+O(n/2)=O(n)$

为什么不能是 $O(1)$？

• 需要扫描整个子区间才能确定最小值/最大值
• 不能直接使用左右子问题的解，因为跨越中点时的最优选择可能不是子问题的最优解
• 例如：左子问题可能在市场2买入（4元），但跨越中点时市场4的买入价（2元）更低，应该选择市场4

正确递推式：
$$T(n)=2T(n/2)+O(n)$$

复杂度求解（使用主方法）：

• $a=2$, $b=2$, $f(n)=O(n)$
• ${\log }_b(a)={\log }_2(2)=1$
• $f(n)=O(n)=O(n^1)=O(n^{{\log }_b(a)})$
• 情况2：$T(n)=O(n\log n)$

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🎯 核心要点总结

1. 问题本质：在约束条件下（$j\ge i$）找到最优的买卖组合

2. 分治法三步骤：

   • 底：只有一个市场时，利润 = $S[i]-B[i]$
   • 分：将区间分成左右两部分
   • 合：从三种情况中选择最优（左、右、跨越中点）

3. 关键技巧：跨越中点时，在左半部分找最低买入价，在右半部分找最高卖出价

4. 复杂度：$O(n\log n)$ 时间

5. 易错点：

   • 不能直接使用左右子问题的解作为跨越中点的解
   • 合并步骤的时间复杂度是O(n)，不是O(1)

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💡 拓展思考

1. 如果允许多次买卖：这个问题会变成什么？可以用动态规划解决吗？

2. 如果允许往回开：问题会变得更简单还是更复杂？

3. 如果每个市场有交易成本：算法需要如何修改？

4. 与股票问题的区别：为什么股票问题可以转化为最大子数组问题，而这个问题不行？

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📚 相关知识点

• 分治法：要点5-贪心法、分治法、动态规划
• 主方法：要点3-推导递推关系的渐进阶(主方法)
• 算法复杂度分析：要点2-比较不同函数的渐进阶大小

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💡 记忆口诀：分治买卖苹果，左右分别求解，跨越中点找最低买最高卖，三者取最优！