安德鲁算法求凸包

凸包

凸包 百度百科:二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈

求解

凸包可以看做是最外边的一圈点，因此凸包一定是一个凸多边形，我们可以根据凸多边形的性质来求解。

如果我们给按照顺时针方向给凸多边形的所有边一个正方向：

有如下性质，对于所有相邻点，凸多边形上的其他点一定在这两个相邻点确定的向量的“右侧”。

那么我们在维护凸包的过程中，只需不断的查看在当前情况下，“左侧”是否有点，有点的话就要把当前点去掉，选取左侧的点。

安德鲁算法

维护过程：

1. 先以横坐标为第一关键字，纵坐标为第二关键字，将所有点排序。
2. 如果栈中有大于等于两个点，判断等待点是否在栈中最后两个点组成的向量的左侧，如果是，那么弹出栈顶元素。不断循环直到不再弹出元素。
3. 压入等待点。

上面的过程即可维护出上凸包。下凸包同理。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;

typedef struct Point
{
    double x, y;
    Point operator-(const Point &temp) const
    {
        return Point{x - temp.x, y - temp.y};
    }
    bool operator<(const Point &temp) const
    {
        if (x == temp.x)
            return y < temp.y;
        return x < temp.x;
    }
} Vector;

Point p[N];

int stk[N];
bool vis[N];

double cross(Vector A, Vector B)
{
    return A.x * B.y - A.y * B.x;
}

void solve()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
    sort(p + 1, p + 1 + n);
    int top = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (top >= 2 &&
               cross(p[stk[top]] - p[stk[top - 1]], p[i] - p[stk[top - 1]]) > 0)
            vis[stk[top--]] = 0;
        stk[++top] = i;
        vis[i] = 1;
    }
    vis[1] = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        if (vis[i])
            continue;
        while (top >= 2 &&
               cross(p[stk[top]] - p[stk[top - 1]], p[i] - p[stk[top - 1]]) > 0)
            vis[stk[top--]] = 0;
        stk[++top] = i;
        vis[i] = 1;
    }
    for (int i = 1; i <= top; i++)
        printf("%.2lf %.2lf\n", p[stk[i]].x, p[stk[i]].y);
}
int main()
{
    solve();
    return 0;
}
/*
5   
0 0 
2 2 
1 1 
2 0 
0 2
*/