逆元

常用的求逆元的方法有扩展欧几里得和费马小定理， 因为扩展欧几里得我还不会， 这里介绍一下费马小定理。

逆元的定义

有正整数$a$和质数$p$，满足$ax\%p=1$的最小正整数$x$就称为是$a$的逆元

逆元的作用

为什么要用到逆元呢？
在加、减、乘法中，都有如下等式：
$(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p$
$(a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p$
$(a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p$
除法例外，但是有了逆元之后，就有以下等式
$$\frac{a}{b}\%p=(a\times x)\%p$$

其中 $x$ 就称为 $b$模$p$的逆元

费马小定理

费马小定理 百度百科

可以简单的理解成：如果$p$是一个质数，而整数$a$不是$p$的倍数，则有$a^{p-1}\%p=1$

显然，当$p$为质数时，有$(a\times a^{p-2})\%p=1$，那么$a^{p-2}$就是a的逆元。

这里我们可以用快速幂求得$a$的逆元$x$
代码如下：

ll quick_pow(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res *= a;
        b /= 2;
        a = a * a % mod;
        res %= mod;
    }
    return res % mod;
}
inline ll get_niyuan(ll a)
{
    return quick_pow(a, mod - 2);
}