[BZOJ2005][NOI2010]能量采集莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2020-03-30 09:45:21 发布

henucm

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种解决数学算法竞赛中整数点问题的方法，通过莫比乌斯反演和分块思想优化计算过程。具体讨论了如何将原问题转化为求解特定区间内最大公约数等于1的数对数量，最后通过代码实现了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

思路：

首先证明对于某个点（x,y）,k=gcd(x,y)-1：
设gcd(x,y)=t，令x=at，y=bt，那么在这条直线上的整数点可以表示为(a,b)(2a,2b)(3a,3b)……(x,y)，由于不算x,y，则答案为gcd(x,y)-1
那么总损耗2k+1=2×gcd(x,y)-1。
我们最终要求的式子为：
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(gcd(i,j)*2-1)$

$=2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$

那么我们只需要算出 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$ 这个式子就可以了

设 F(x):gcd(i,j)%x=0 的对数 f(x):gcd(i,j)=x 的对数。

易知 $F(p)=\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor * \left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$

$F(x)=\sum_{x|d}f(d)$

根据莫比乌斯反演得， $f(x)=\sum_{x|d}u(\frac{d}{x})F(d)$

把问题1~n区间和 1~m区间，gcd(x,y) = d对数的问题

转换为 1~n/d区间和 1~m/d，gcd(x,y)=1对数的问题（理由：在1~a中，有a/d个数是d的倍数，在1~b中，有b/d个数是d的倍数，这些数不管怎么选择，构成的gcd(x,y)都是d的倍数）

然后用分块思想进行优化

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int tot=0;
ll mu[N],vis[N],prime[N];
void init()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prime[++tot]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<N;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else
			{
				mu[i*prime[j]]=0;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<N;i++)
	{
		mu[i]+=mu[i-1];
	}
}
int main()
{
	init();
	int n,m;
	while(cin>>n>>m)
	{
		if(n>m)
		swap(n,m);
		ll ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int a=n/i,b=m/i;
			ll temp=0;
			for(int l=1,r;l<=a;l=r+1)
			{
				r=min(a/(a/l),b/((b/l)));
				temp+=1ll*(a/l)*(b/l)*(mu[r]-mu[l-1]);
			}
			ans+=1ll*temp*i;
		}
		cout<<2*ans-1ll*n*m<<endl;
	}
	return 0;
}