经典DP合集 ʕ •ᴥ•ʔ

1. 数字三角形/数塔问题（DP入门题）

        有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一起走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。

 

样例输入：

5

13

11 8

12 7 26

6 14 15 8

12 7 13 24 11

样例输出：

86（13->8->26->15->24）

状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+a[i][j]; 从最低层往上搜索

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <string.h>
//#include <map>
#define ll long long
using namespace std;
#define pai acos(-1,0)
int map[355][355];
int dp[355][355];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>map[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	dp[n][i]=map[n][i];
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(int j=1;j<=i;j++)
		dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+map[i][j];
	}
	cout<<dp[1][1]<<endl;
	return 0;
}

 

2. 序列DP

（1）最长上升子序列LIS

        输入n及一个长度为n的数列，求出此序列的最长上升子序列长度。上升子序列指的是对于任意的i<j都满足ai<aj的子序列。（1<=n<=1000,0<=ai<=1000000）

样例输入：

5

4 2 3 1 5

样例输出：

3（最长上升子序列为2, 3, 5）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define maxn 1005
using namespace std;
int n,a[maxn];
int dp[maxn];    //dp[i]记录以a[i]为末尾的最长上升子序列的长度
int main()
{
	int i,j;
	int ret;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
	    for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            dp[i]=1;      //初始化
        }
        ret=1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<i;j++)  //遍历所有在a[i]之前的元素
            {
                if(a[j]<a[i]) //若存在aj<ai，则在以aj为结尾的上升子列末尾追加ai后得到的子序列 和 只包含ai的子序列中取长度较大者
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            ret=max(ret,dp[i]);  //注意随时更新ret
        }
        printf("%d\n",ret);
	}
	return 0;
}

 

（2）最长公共子序列LCS

        给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最长公共子序列的长度。

【分析】定义dp[i][j]：串s1的前i个字符 和 串s2的前j个字符的最长公共子序列长度，则s1…si+1和t1…tj+1对应的公共子列可能是：

        ①si+1=tj+1时：在s1…si 和 t1…tj的公共子列末尾追加si+1（即LCS长度+1）

        ②否则可能为s1…si和t1…tj+1的公共子列长度l1 或s1…si+1和t1…tj的公共子列长度l2，二者取较大者。

        故状态转移方程为：

        dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1,                                      ①

                                max(dp[i][j+1], dp[i+1][j]),        ②

        最后dp[len1][len2]即为所求，其中len1、len2分别为串s1和s2的长度。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxlen=1010;
char s1[maxlen],s2[maxlen];
int dp[maxlen][maxlen];   //dp[i][j]记录串s1的前i个字符和串s2的前j个字符的LCS长度
int main()
{
    int i,j;
    int len1,len2;
    while(scanf("%s",s1)!=EOF)
    {
        scanf("%s",s2);
        len1=strlen(s1);
        len2=strlen(s2);
        dp[0][0]=0;         //初始化：两串均为空时，len(LCS)=0
        for(i=1;i<=len1;i++)//s2串为空时，不论s1中有多少字符，len(LCS)=0
            dp[i][0]=0;
        for(i=1;i<=len2;i++)//s1串为空时，不论s1中有多少字符，len(LCS)=0
            dp[0][i]=0;
        for(i=0;i<len1;i++)
        {
            for(j=0;j<len2;j++)
            {
                if(s1[i]==s2[j]) //s1与s2对应位置字符相等
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else     //其它情况：两者取较大者
                    dp[i+1][j+1]=max(dp[i][j+1],dp[i+1][j]);
            }
        }
        printf("%d\n",dp[len1][len2]);
    }
    return 0;
}

 

（3）最大公共子串LCS

        给定两个字符串s1和s2（长度均不超过1000），求出这两个字符串的最大公共子串的长度。

【分析】情境类似求最长公共子序列长度问题，不过需要注意的是：所求子串中的字符需要在串s1和串s2中连续出现。

 

        例：s1=”abcad”

                s2=”abd”

        它们的最长公共子序列长度为3（”abd”），而最大公共子串长度为2（”ab”）。

        因此，定义dp[i][j]：串s1的前i个字符 和 串s2的前j个字符的最大公共子串长度，则s1…si+1和t1…tj+1对应的公共子串可能是：

        ①si+1=tj+1时：在s1…si 和 t1…tj的公共子串末尾追加si+1（即LCS长度+1）

        ②否则dp[i][j]=0。

        分析可知状态转移方程：

        dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1,                     ①

                                0,                                   ②

 

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxlen=1010;
char s1[maxlen],s2[maxlen];
int dp[maxlen][maxlen];    //dp[i][j]为串s1的前i个字符和串s2的前j个字符的最大公共子串长度
int main()
{
    int i,j;
    int len1,len2,ret;     //ret记录结果
    while(scanf("%s",s1)!=EOF)
    {
        scanf("%s",s2);
        memset(dp,0,sizeof(dp));   //初始化：开始LCS长度均为0
        len1=strlen(s1);
        len2=strlen(s2);
        ret=0;
        for(i=0;i<len1;i++)
        {
            for(j=0;j<len2;j++)
            {
                if(s1[i]==s2[j])
                    dp[i+1][j+1]=dp[i][j]+1;
                else
                    dp[i+1][j+1]=0;
                ret=max(ret,dp[i+1][j+1]);    //随时更新最大值
            }
        }
        printf("%d\n",ret);
    }
    return 0;
}