泊松分布的来源

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本文探讨了在特定条件下，即试验次数n趋向于无穷大而概率p趋向于0时，二项分布如何通过泊松分布进行逼近。文中给出了详细的数学推导过程，并提供了进一步学习资源。

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在二项分布的伯努利试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。

证明如下。首先，回顾e的定义：

$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda \over n}\right)^n=e^{-\lambda},$

二项分布的定义：

$P(X=k)={n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.$

如果令 $p = \lambda/n$ , $n$ 趋于无穷时 $P$ 的极限:

$\begin{align}\lim_{n\to\infty} P(X=k)&=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &=\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}\\&=\lim_{n\to\infty}\underbrace{\left[\frac{n!}{n^k\left(n-k\right)!}\right]}_F\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\&= \lim_{n\to\infty}\underbrace{\left[ \left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \ldots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \right]}_{\to 1}\left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n}_{\to\exp\left(-\lambda\right)}\underbrace{\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to 1} \\&= \left(\frac{\lambda^k}{k!}\right)\exp\left(-\lambda\right)\end{align}$