4.6 参数根轨迹和多回路系统的根轨迹

4.6.1 参数根轨迹

⒈引言

前 面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上述以开环增益K 为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等，这种以K以外的系统其他 参量作为可变参量绘制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统 性能的影响。

⒉思路和方法

如果选择系统其他参量为可变参量时，引入等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可变参量在等效传递函数中相当于开环增益K的位置，则上面介绍的幅角、幅值条件和绘制根轨迹的各种规则都依然有效。

上述变换的方法是对系统的特征方程作一个除法，即以特征方程中不含有该参数项的各项去除该方程，便可得到 的形式，其中，就是要引入的等效传递函数。

例4-4 设反馈系统如图4-16所示 ，试绘制以a为参变量的根轨迹。

图4-16

⑴. 常规方法

⑴. 系统的开环传递函数为

系统的特征方程为

以不含a的项，即，除以上式得

得等效开环传递函数：

式中

据此,可用“常规方法”作出其根迹，如图4-17所示（可证明，其部分根迹为园弧）。

①.根迹的起迄点及条数:
两条根迹分支,分别起始于开环极点-1+j3、-1-j3,终止于开环零点0和s平面∞处。

②.实轴上的根迹：
负半实轴为根迹。

③.会合点：

由 。

④.复数极点-1+j3出射角：

⑵.“MATLAB”方法

①解本题的MATLAB程序exe44.m

% ks/(s2+2s+10)
n=[1 0]
d=[1 2 10]
rlocus(n,d)

②执行本程序,可得图4-17参数根轨迹图。

图4-17

4.6.2 多回路系统的根轨迹

1.引言

前面介绍单环系统根迹，不仅适合单环，而且也适合多环系统。

2.思路和方法

先作内环根迹，再用幅值条件试探求出内环的闭环极点，进而作为外环的一部分开环极点，再画出外环的根迹。

例4-5 设一双环反馈系统，如图4-18所示 。试绘制以 c为参变量的根轨迹。

图4-18

⑴.常规方法

①.先作内环根迹:
内环开环传递函数为：

此与例4-1相同，这里不再重复。

②.求出 =1.06 时的内环闭环极点(用试探法):
由§4―3可知，为：-0.33+j0.58、 -0.33-j0.58、 -2.33

③.内环的闭环传递函数为：

④. 内环化简后外环的开环的传递函数为：

⑤.外环（系统）根轨迹:

·根轨迹有四条分支：

分别自0, -2.33,-033+j0.58,0.33-j0.58。至-1,-3,和s平面∞处。

·实轴上根迹：

在 0 至-1,-2至-2.33,-3至-∞是根轨迹。

·根迹渐近线：

由公式求得σα=0.5,α=±90B 。

·复数极点-0.33+j0.58,外的出射角：

φ=8.06B 。

·根迹与虚轴交点：

·系统外环根迹:

如图4-19所示.

⑵.“MATLAB”方法

①.解本题的MATLAB程序exe45.m:
% k(s+1)(s+3)/s(s+0.33+0.58i)(s+0.33-0.58i)(s+2.33)
z=[-1 –3]’;
p=[0 –2.33 –0.33+0.58i –0.33-0.58i]’;
k=1;
[n,d]=zp2tf(z,p,k);
rlocus(n,d)
title(‘4-19’)

②.执行本程序,可得外环根轨迹图4-19。

图4-19