2021牛客暑期多校训练营1 H Hash Function (FFT + 数学)

链接：H Hash Function

题意：

给定一个长度为 n ($n\le 500000$) 的数组 a,数组中元素互不相同 ， 现要求出一个最小的 x , 使得所有的数模 x后仍互不相同。

思路：

1. 根据同余定理，这个数 x 肯定不能是数组a中任意两个数的差值和他们的因子。所以我们要求出数组中所有数两两之间的差值，如果直接求肯定要o($n^2$)，可以用 FFT 加速这个过程。
2. FFT本身是求出两个多项式相乘后的系数，那么怎么用它来求数组a中两两的差有哪些呢。假设我们现在有两个多项式 s1 , s2。如果数组 a 中存在数字 5 和 3， 我们让多项式 s1中 $x^5$的系数为1 ，s2中 $x^{-3}$的系数为1 ，两个多项式相乘后，我们会发现 $x^2$的系数会为1，幂次 2 就是我们要求的差值。所以最后我们只需要知道哪些幂次出现过，就代表差值存在了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 4e6 + 5;
const int num = 500002;
const ll inf = (1ll << 60);
const ll mod = 998244353;
const double Pi = acos(-1.0);
int n, m, r[maxn];
int vis[maxn];
struct Complex{
    double x, y;
    Complex(double xx = 0, double yy = 0) : x(xx), y(yy) {}
    Complex operator+(Complex b){
        return Complex(x + b.x, y + b.y);
    }
    Complex operator-(Complex b){
        return Complex(x - b.x, y - b.y);
    }
    Complex operator*(Complex b){
        return Complex(x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x);
    }
};

// 最高n，m次， 0次为常数
Complex a[maxn], b[maxn];
Complex c[maxn];
void fft(Complex *cm, int cnum, int tag){
    for(int i =  0 ; i <= cnum - 1; i ++){
        if (i < r[i]){
            swap(cm[i], cm[r[i]]);
        }
    }
    for (ll mid = 1; mid < cnum; mid <<= 1){
        Complex wk = Complex(cos(2 * Pi / (2 * mid)), tag * sin(2 * Pi / (2 * mid)));
        for (ll j = 0; j < cnum; j += 2 * mid) //枚举 cnum/2*mid个全长段
        {
            Complex w(1, 0);
            for (ll k = 0; k < mid; k++) //每段里面进行fft，不是<=，因为只有一半，不能超出
            {
                Complex buf = w * cm[j + k + mid];
                cm[j + k + mid] = cm[j + k] - buf; //在这一步cm[j + k] = cm[j + k] + buf上，否则cm[j+k]已被更改
                cm[j + k] = cm[j + k] + buf;
                w = w * wk;
            }
        }
    }
}
int fft_init(int n){     //n是最高次幂
    int maxx = 1, bits = 0;
    while ((maxx) <= n) {
        maxx <<= 1;
        bits++;
    }
    for(int i = 0; i <= maxx - 1; i ++){
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (bits - 1)); //求二进制反转结果
    }
    return maxx;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1 , d; i <= n; i ++){
        scanf("%d",&d);
        a[num + d].x ++;
        b[num - d].x ++;
    }
    int maxx = fft_init(4 * num);
    fft(a, maxx, 1);
    fft(b, maxx, 1);
    for(int i = 0; i <= maxx; i ++){
        c[i] = a[i] * b[i];
    }
    fft(c, maxx, -1);
    for(int i = 1; i <= num; i ++){
        vis[i] = (c[i + 2 * num].x / maxx + 0.5);
     //   printf ("%d %d\n",i , vis[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= num; i ++){
        if(vis[i]) continue;
        for(int j = i; j <= num; j += i){
            if(vis[j]){
                vis[i] = 1;
            }
        }
    }
    for(int i = n; i <= num; i ++){
        if(!vis[i]){
            printf ("%d\n",i);
            return 0;
        }
    }
    return 0;
}