2021牛客暑期多校训练营1 H - Hash Function ( FFT )

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本文介绍了一种利用快速傅立叶变换（FFT）解决给定集合中寻找最小模数seed的算法，使得所有元素取模后互不相同。通过FFT计算差值的存在性，并采用枚举法找到满足条件的最小seed，总时间复杂度为O(nlogn)。

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题目

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题意

给你一个集合 S ，让你找一个最小模数 seed ，满足集合内所有数取模后的值各不相同

思路

如果两个数 x , y , 取模后的值相同，则需要满足：| x - y | % seed == 0
所以如果已知模数 seed ，若对于所有的 | a [ i ] - a [ j ] | ( 1 <= i, j <= n, i != j )都满足不是模数 seed 的倍数，那么此模数就是最小模数。
对于所有的 | a [ i ] - a [ j ] | ( 1 <= i, j <= n, i != j )，可以通过FFT来求。让 a [ i ] , - a [ j ]，分别作为 A , B多项式指数，将其对应的系数赋值为 1 ，多项式乘积过后，对结果多项式遍历，系数大于 1 的指数，说明这个指数值（也就是差存在）。但是考虑到 - a [ j ] 是负数的情况，数组下标不允许负数，所以可以加一个偏移量，最后判断差值存在的时候再减去这个偏移量即可。
FFT过后，我们知道了哪些差值是存在的，那么我们这时就可以枚举 seed ，判断 seed 的倍数是否是差值之一，若都不是，那这就是最小 seed。
FFT 是 nlogn 的，枚举 seed 以及判断也是 nlogn 的，所以整个程序时间复杂度为O（ nlogn ）。

代码

#include<iostream>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
//#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<fstream>
#define X first
#define Y second
#define best 131 
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define pii pair<int,int>
#define lowbit(x) x & -x
#define inf 0x3f3f3f3f
//#define int long long
//#define double long double
//#define rep(i,x,y) for(register int i = x; i <= y;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double pai=acos(-1.0);
const int maxn=2e6+10;
const int mod=998244353;
const double eps=1e-9;
const int N=5e3+10;

int n,ans[maxn];
int lim=1,len,rev[maxn]; 
struct node
{
    double x,y;
    node(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
    node operator * (node Q){return node(x*Q.x-y*Q.y,x*Q.y+y*Q.x);}
	node operator + (node Q){return node(x+Q.x,y+Q.y);}
	node operator - (node Q){return node(x-Q.x,y-Q.y);}
}a[maxn],b[maxn];

//inline int read()
//{
//    int k = 0, f = 1 ;
//    char c = getchar() ;
//    while(!isdigit(c)){if(c == '-') f = -1 ;c = getchar() ;}
//    while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48 ,c = getchar() ;
//    return k * f ;
//}

inline void fft(node *A,double flag)
{
    for(int i=0;i<lim;i++)
        if(i<rev[i]) 
			swap(A[i],A[rev[i]]);
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)
	{
        node wn(cos(pai/i),flag*sin(pai/i));
        for(int j=0;j<lim;j+=(i<<1))
		{
            node w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w=w*wn) 
			{
                node nx=A[j+k],ny=w*A[j+i+k];
                A[j+k]=nx+ny;
                A[j+i+k]=nx-ny ;
            }
        }
    }
}

int x,p=500000;
bool vis[maxn];

bool check(int seed)
{
	for(int i=seed;i<=p;i+=seed)
		if(vis[i])
			return 0;
	return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	scanf("%d",&x);
    	a[x].x=1;
    	b[p-x].x=1;
	}
    while(lim<p+p) lim<<=1,len++;
    for(int i=0;i<=lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1)) ;
    fft(a,1);
	fft(b,1);
    for(int i=0;i<=lim;i++) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(a,-1);
	for(int i=0;i<=lim;i++)
	{
		ans[i]=(int)(a[i].x/lim+0.5);
		if(ans[i]) vis[abs(i-p)]=1;
	}
    for(int i=1;i<=500001;i++)
    {
    	if(check(i))
    	{
    		printf("%d",i);
    		break;
		}
	}
    return 0;
}