51Nod-集合计数（拓展欧几里得+中国剩余定理）

最新推荐文章于 2019-07-27 11:25:32 发布

信仰..

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分类专栏：数论文章标签：数论

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本文探讨了一种特定的集合计数问题，即在一系列固定集合中寻找满足特定数学条件的集合数量。通过数学分析和编程实现，给出了有效的解决方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1352 集合计数

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

关注

给出N个固定集合{1，N},{2,N-1},{3,N-2},...,{N-1,2},{N,1}.求出有多少个集合满足：第一个元素是A的倍数且第二个元素是B的倍数。

提示：

对于第二组测试数据，集合分别是：{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},{6,5},{7,4},{8,3},{9,2},{10,1}.满足条件的是第2个和第8个。

Input

第1行：1个整数T（1<=T<=50000)，表示有多少组测试数据。
第2 - T+1行：每行三个整数N，A,B（1<=N，A，B<=2147483647)

Output

对于每组测试数据输出一个数表示满足条件的集合的数量，占一行。

Input示例

2
5 2 4
10 2 3

Output示例

1
2

System Message (题目提供者)

题目考点很容易看出，就是求解ax+by=n+1中解的个数

这里不能完全明白的地方是为什么除以LCM便是剩下可能的情况（巨巨们说是中国剩余定理）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<limits.h>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<math.h>
#include<map>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1000005
#define Mod 1000000007
const int inf=1e10;
ll gcd(ll x,ll y)
{
	if(y==0)return x;
	return gcd(y,x%y);
}
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	ll x1,y1;
	ex_gcd(b,a%b,x1,y1);
	x=y1;
	y=x1-a/b*y1;
}
int  main()
{
	ll n,a,b,i,j,T;
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
		n++;
		ll temp=gcd(a,b),LCM=a/temp*b;
		if(n%temp)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		ll dn=n/temp;
		ll da=a/temp;
		ll db=b/temp;
		ex_gcd(da,db,x,y);
		x*=dn;
		x=(x%db+db)%db;//求最小的非负x的解
		if(x==0)
		x+=db;//保证x是整数 
		ll ans=n-1-x*a;
		//printf("%lld",a);
		if(ans<0)printf("0\n");
		else  printf("%lld\n",1+ans/LCM);
	}
}