51Nod－1352－集合计数

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#数论

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本文介绍了一道ACM竞赛题目，通过使用扩展欧几里得算法来解决枚举方法无法处理的大规模计算问题。该文详细解释了如何利用此算法求解特定形式的线性方程，并计算最小公倍数，最终解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ACM模版

描述

题解

使用常规思路枚举的话一定会超时，这里需要用到扩展欧几里得算法求满足Ax + By = N + 1的方程大于0的最小值和A、B的最小公倍数，最后分析res可以拆解出来多少个C（最小公倍数）。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>

typedef long long ll;

using namespace std;

ll N, A, B;
ll x, y;

ll extgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll d = extgcd(b, a % b, x, y);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}

ll solve()
{
    ll ans = 0;
    ll d = extgcd(A, B, x, y);
    ll C = A * B / d;   //  最小公倍数

    if ((1 + N) % d)    //  无解
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        x = x * ((1 + N) / d);
        ll r = B / d;
        x = (x % r + r) % r;
        if (x == 0)     //  x最小为r
        {
            x += r;
        }
        ll res = N - (x) * A;
        if (res < 0)
        {
            return 0;
        }
        else
        {
            ans++;
            ans += res / C; //  拆解成多少份儿C
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);

    while(T--)
    {
        scanf("%lld %lld %lld", &N, &A, &B);
        cout << solve() << endl;
    }
    return 0;
}