(一)SVM推导

SVM模型就是用一个超平面H把正负样本分开的模型,如图1所示。

1、超平面的定义

假设ww→是垂直超平面H的法向量,xx−→是一个负样本,x+x+→是一个正样本,xx−→x+x+→在向量ww→的投影点分别是A,B。所有的样本满足公式(1)。

w||w||x|OC|w||w||x+(1)w→||w→||∗x−→⩽|OC|⩽w→||w→||∗x+→(1)


w||w||x|OC|0w||w||x+|OC|(2)w→||w→||∗x−→−|OC|⩽0⩽w→||w→||∗x+→−|OC|(2)

进一步可以转化为
wx+b0wx++b(3)w→∗x−→+b⩽0⩽w→∗x+→+b(3)

所以,当样本满足公式(4)时候,则判定为正样本,反之,是负样本。其中,公式(4)中满足等式的点落在超平面H中。
wx+b0(4)w→⋅x→+b⩾0(4)

这里写图片描述
图.1

2、训练样本满足的约束

由前面的分析可知,超平面H可以有无数条,然而,我们定义具有最大间隔的超平面才是最优的。如图.1所示,最大间隔指的是虚线H1与H2之间的距离。其中,H1,H,H2是平行的,并且H1到H的距离与H2到H的距离相等。由公式(4),并且向量ww→可以伸缩,可得

{wx++b1wx+b1(5){w→⋅x+→+b⩾1w→⋅x−→+b⩽−1(5)

即为了得到最优的分割超平面H,我们要求训练的正样本和负样本满足公式(5),然后去求解最大的间隔。其中,落在虚线H1,H2的点使得公式(5)的等号成立,这些点称为支持向量。假设样本点的标签值y{+1,1}y∈{+1,−1}。代入公式(5),有
{y+i(wx++b)1yi(wx+b)1(6){yi+(w→⋅x+→+b)⩾1yi−(w→⋅x−→+b)⩾1(6)

公式(6)可以合并为通用的样本形式
yi(wx+b)1(7)yi(w→⋅x→+b)⩾1(7)

即所有的训练样本都满足公式(7),其几何意义如图.1,所有的样本点都在虚线两侧,不允许跨过虚线。注意,预测样本的时候,是允许样本点跨越虚线区域的,因为判断的分界线是超平面H。
3、最大间隔的表示

如图.2所示,最大间隔等于正样本支持向量与负样本支持向量构成的向量x+xx+→−x−→在法向量ww→上的投影长度d。
这里写图片描述
投影长度d如公式(8)所示.

d=(x+x)w||w||(8)d=(x+→−x−→)⋅w→||w→||(8)

由于这里的x+xx+→和x−→是支持向量,满足公式(9)
yi(wx+b)=1(9)yi(w→⋅x→+b)=1(9)

把公式(9)代入公式(8),可得
d=2||w||d=2||w→||

即求解最大间隔表示如下:
max2||w||s.tyi(wx+b)1=0{max2||w→||s.tyi(w→⋅x→+b)−1=0

等价于求解
min12||w||2s.tyi(wx+b)1=0{min12||w→||2s.tyi(w→⋅x→+b)−1=0

其中,s.t 代表约束条件.
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