攻防世界GFSJ1195 DDH_Game

题目编号：GFSJ1195

附件下载后是一个txt文件和一个sage文件（python）：

1. 分析代码（.sage文件），已添加详细注释

# 从 secret 模块导入 flag 变量
from secret import flag
from Crypto.Util.number import bytes_to_long
from Crypto.Util.number import getRandomRange

# 确保 flag 符合特定格式，以 'CatCTF{' 开头并以 '}' 结尾
assert flag.startswith(b'CatCTF{')
assert flag.endswith(b'}')

# 定义使用自定义生成元 G 的 BLS-12-381 椭圆曲线
# p 是素数，定义了有限域 GF(p)
p = 0x1a0111ea397fe69a4b1ba7b6434bacd764774b84f38512bf6730d2a0f6b0f6241eabfffeb153ffffb9feffffffffaaab
K = GF(p)  # 定义有限域 GF(p)
a = K(0x00)  # 椭圆曲线的参数 a
b = K(0x04)  # 椭圆曲线的参数 b
E = EllipticCurve(K, (a, b))  # 使用参数 a 和 b 定义椭圆曲线 E
# 设置椭圆曲线的阶（曲线上的点的总数）
E.set_order(0x73EDA753299D7D483339D80809A1D80553BDA402FFFE5BFEFFFFFFFF00000001 * 0x396C8C005555E1568C00AAAB0000AAAB)

# 定义生成元 G 的坐标
G = E(
    3745324820672390389968901155878445437664963280229755729082200523555105705468830220374025474630687037635107257976475,
    2578846078515277795052385204310204126349387494123866919108681393764788346607753607675088305233984015170544920715533
)
n = G.order()  # 生成元 G 的阶

# 定义曲线的嵌入度 k = 12
k = 12

# 将 flag（去掉前后标识部分）转为整数 m
m = Integer(bytes_to_long(flag[7:-1]))
# 获取 m 的位序列表示，用于生成 Diffie-Hellman 问题实例
sols = m.bits()

# 定义一个列表来存储 Diffie-Hellman 问题实例
DDH_instances = []

# 遍历位序列，生成 DDH 问题实例
for i in range(len(sols)):
    a = getRandomRange(1, n)  # 随机生成 a
    b = getRandomRange(1, n)  # 随机生成 b
    c = 0  # 初始化 c
    
    # 如果 sols[i] 为 True，将 c 设置为 a*b mod n
    if sols[i] == True:
        c = a * b % n
    # 如果 sols[i] 为 False，将 c 设置为随机数，并确保 a*b*G ≠ c*G
    elif sols[i] == False:
        c = getRandomRange(1, n)
        assert a * b * G != c * G  # 验证生成的 (a, b, c) 满足非等式

    # 将 (a*G, b*G, c*G) 的坐标对添加到 DDH 实例列表中
    ins = ((a * G).xy(), (b * G).xy(), (c * G).xy())
    DDH_instances.append(ins)

# 将生成的 DDH 实例写入文件 'DDH_instances.txt'
with open('DDH_instances.txt', 'w') as f:
    f.write(str(DDH_instances))

2. 通过阅读源码及DDH的提示，求解椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）

两个方案解决：

• 方案1：基于配对的方式，通过 Tate 配对计算点的相等性来验证每个实例。对 DDH 实例中的点进行 Tate 配对比较，如果配对结果相等，说明满足条件，输出为1，否则为0。
• 方案2：使用 Pohlig-Hellman 离散对数算法，通过计算每个点相对于生成元的离散对数，然后利用这些对数的乘积关系判断比特值。这种方式更依赖于离散对数计算，且适用于因数分解已知的阶数。

3. 方案1（Tate 配对）代码：

# 使用 SageMath 9.5
from Crypto.Util.number import long_to_bytes  # 从 Crypto 库导入 long_to_bytes 函数，用于将长整数转换为字节形式

# 在运行前，修改文件名，并在文件开头添加 "DDH_instances = " ，以便加载 DDH 实例数据
load('../GFSJ/GFSJ1195/DDH_instances.sage')  # 加载包含 DDH 实例的文件

# 定义椭圆曲线参数
p = 0x1a0111ea397fe69a4b1ba7b6434bacd764774b84f38512bf6730d2a0f6b0f6241eabfffeb153ffffb9feffffffffaaab  # 大素数 p，用于有限域 GF(p)
K = GF(p)  # 定义有限域 GF(p)
a = K(0x00)  # 椭圆曲线的参数 a
b = K(0x04)  # 椭圆曲线的参数 b
E = EllipticCurve(K, (a, b))  # 定义椭圆曲线 E，使用有限域 K 和参数 (a, b)

# 设置椭圆曲线的阶（曲线上所有点的数量）
E.set_order(0x73EDA753299D7D483339D80809A1D80553BDA402FFFE5BFEFFFFFFFF00000001 * 0x396C8C005555E1568C00AAAB0000AAAB)

# 定义生成元 G 的坐标
G = E(
    37453248206723903899689011558784454376649632802297