攻防世界GFSJ1193 cat_theory

题目编号：GFSJ1193

附件下载后是一个jpg文件和一个sage文件（python）：

1. 分析图片（.jpg文件）

这个交换图展示的是一个加密系统的 同态加密 性质，其核心思想是：加密前的操作与加密后的操作具有某种兼容性。

图中符号解释

1. M\mathcal{M}M 表示明文空间，即未加密的数据集合。
2. C\mathcal{C}C 表示密文空间，即加密后的数据集合。
3. Epk(⋅)E_{pk}(\cdot)Epk​(⋅) 表示加密算法，输入明文，输出密文，公钥为 pkpkpk。
4. 箭头上的符号：
   • +++：表示在明文空间上的加法操作。
   • ×\times×：表示在密文空间上的乘法操作。

图的含义

上方路径（明文操作后加密）

1. 从左上角开始，(m1,m2)∈M×M(m_1, m_2) \in \mathcal{M} \times \mathcal{M}(m1​,m2​)∈M×M，这是两个明文。
2. 对这两个明文进行加法运算：m1+m2∈Mm_1 + m_2 \in \mathcal{M}m1​+m2​∈M。
3. 将加法结果加密，得到密文：Epk(m1+m2)∈CE_{pk}(m_1 + m_2) \in \mathcal{C}Epk​(m1​+m2​)∈C。

下方路径（分别加密后在密文空间操作）

1. 从左上角的明文对 (m1,m2)(m_1, m_2)(m1​,m2​)，分别对 m1m_1m1​ 和 m2m_2m2​ 进行加密，得到密文对 (Epk(m1),Epk(m2))∈C×C(E_{pk}(m_1), E_{pk}(m_2)) \in \mathcal{C} \times \mathcal{C}(Epk​(m1​),Epk​(m2​))∈C×C。
2. 在密文空间对这两个密文进行乘法操作：Epk(m1)×Epk(m2)∈CE_{pk}(m_1) \times E_{pk}(m_2) \i