《Modern Robotics》阅读笔记2——刚体的运动（二）

《Modern Robotics》阅读笔记2——刚体的运动（二）

在这篇文章中，主要讲述的是旋转矩阵的内容。

1. 旋转矩阵与特殊正交群（刚体的三维运动表示方法）

旋转矩阵的概念不用再介绍。我们知道，旋转矩阵有9个元素，但其中可以自由选取的元素只有3个，因为旋转矩阵必须满足额外的6个约束，这些约束可以总结为下面的式子：
$$R^{T}R=I$$
以及：
$$detR=I$$
第二个约束是用于保证旋转矩阵符合右手坐标系的定义。

基于以上这两个约束，有人定义了 特殊正交群（Special Orthogonal Group） 的概念（传说中的李群）。也就是满足上面这两个约束的矩阵组成的集合，详细的定义如下：

所有满足上述两个约束（$R^{T}R=I$和$detR=I$）的$3\times 3$的实矩阵的集合构成特殊正交群$SO(3)$。

所有满足上述两个约束（$R^{T}R=I$和$detR=I$）的$2\times 2$的实矩阵的集合构成特殊正交群$SO(2)$。

实际上，旋转矩阵就属于$SO(2)$和$SO(3)$。

特殊正交群的一些性质

假设$A$和$B$都属于特殊正交群：

• $AB$也属于该群
• $(AB)C=A(BC)$
• 群内存在一个元素$I$，使得$AI=IA=A$成立
• 群内存在一个元素$A^{-1}$，使得$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$成立
• 对于任意向量$x\in {\mathbb{R}}^3$并且$R\in SO(3)$，那么$y=Rx$与$x$的长度相等（即纯旋转）

2. 旋转矩阵的使用方法

旋转矩阵通常可用作三类用途，下面会一一介绍。
下面这幅图中，定义了三个坐标系，分别是{a}系，{b}系和{c}系。其中{a}系和{s}系是完全对齐的。

2.1. 一种姿态的表示方法

旋转矩阵可以作为一种姿态表示方法。
假设我们已经将{s}系看做参考坐标系或者说是惯性坐标系，那么我们可以通过旋转矩阵来表示其他一切坐标系的姿态。
比如，上图中{a}系就可以表示为：
$$R_a=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
{b}系可以表示为：
$$R_a=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
同理，其他坐标系也可以进行类似的表示。
值得注意，严格的写法是$R_a=R_{sa}$，$R_b=R_{sb}$，上面我们省略了下标。

2.2. 一个改变向量表达的参考坐标系的算子

思考一个问题，假设$R_{bc}$表示{c}系在{b}系下的姿态，$R_{ab}$表示{b}系在{a}系下的姿态，那么如何求{c}系在{a}系下的姿态$R_{ac}$呢？
答案是：
$$R_{ac}=R_{ab}\cdot R_{bc}$$
其实在上面式子中，我们可以换一种方式解读：
Rac=change_reference_frame_from_{b}_to_{a}(Rbc)R_{ac}= change\_reference\_frame\_from\_\{b\}\_to\_\{a\} \left( R_{bc} \right)Rac​=change_reference_frame_from_{b}_to_{a}(Rbc​)
$R_{ab}$可以被看成一个算子，它作用在$R_{bc}$上，将$R_{bc}$的参考坐标系从{b}系变成了{a}系。

所以，利用旋转矩阵的这个性质，我们可以改变任意向量的参考坐标系！！！

比如，存在一个向量$p$，$p_b$是它在{b}系下的表示，如何得到它在{a}系下的表示呢?
$$p_a=R_{ab}\cdot p_b$$

2.3. 一个转动向量的操作

在这里，旋转矩阵被用于转动向量或者坐标系。
为了区别于前面两种用法，我们把旋转矩阵写成如下形式：
$$R=Rot(\hat{\omega },\theta )$$
如下图，旋转矩阵用于表示让坐标系{x^,y^,z^}\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}{x^,y^​,z^}绕着$\hat{\omega }$轴旋转$\theta$度，变换到{x^′,y^′,z^′}\{\hat{x}',\hat{y}',\hat{z}'\}{x^′,y^​′,z^′}的这个操作。

其中，$\hat{\omega }$是一个单位向量。

由此又引出了一个新的问题，$\hat{\omega }$是一个向量，它表示在哪个坐标系里，对我们旋转矩阵的表示有影响吗？
答案是肯定的。

通过上面这幅图，我们来解释这个问题。
假设存在坐标系{s}和{b}，我们希望通过将{b}系绕着$\hat{\omega }$旋转$\theta$度，得到一个新的坐标系。
显而易见，当$\hat{\omega }$表示在{b}系下，或者表示在{s}系下时，旋转之后的结果肯定不同。比如，绕{b}系的z轴转和绕{s}系的z轴转，最后结果肯定不同。
我们假设绕{s}系下的${\hat{\omega }}_s$旋转得到的坐标系是{b’}，绕{b}系下的${\hat{\omega }}_b$旋转得到的坐标系是{b’’}。我们将{b’}系和{b’’}系表示如下：
Rsb′=rotate_by_R_in_{s}_frame(Rsb)=R⋅RsbR_{sb'}= rotate\_by\_R\_in\_\{s\}\_frame\left( R_{sb} \right) = R \cdot R_{sb}Rsb′​=rotate_by_R_in_{s}_frame(Rsb​)=R⋅Rsb​
Rsb′′=rotate_by_R_in_{b}_frame(Rsb)=Rsb⋅RR_{sb''}= rotate\_by\_R\_in\_\{b\}\_frame\left( R_{sb} \right) = R_{sb} \cdot RRsb′′​=rotate_by_R_in_{b}_frame(Rsb​)=Rsb​⋅R
其中：
$$R=Rot(\hat{\omega },\theta )=Rot({\hat{\omega }}_s,\theta )=Rot({\hat{\omega }}_b,\theta )$$
$${\hat{\omega }}_s={\hat{\omega }}_b=\hat{\omega }$$

下面，我们来解释如何理解上面两个式子。
式子一：
Rsb′=rotate_by_R_in_{s}_frame(Rsb)=R⋅RsbR_{sb'}= rotate\_by\_R\_in\_\{s\}\_frame\left( R_{sb} \right) = R \cdot R_{sb}Rsb′​=rotate_by_R_in_{s}_frame(Rsb​)=R⋅Rsb​
这个式子，为什么$R$是左乘？
首先，$R_{sb}$矩阵的每一列分别是{b}系的x,y,z轴在{s}系下的表示。
其次，$R$表示的是，绕{s}系下的$\hat{\omega }$轴旋转。我们这里把$R$看做是一个转动向量的操作。即，将一个{s}系下表示的向量，绕{s}系下的$\hat{\omega }$旋转，很自然就是左乘。

式子二：
Rsb′′=rotate_by_R_in_{b}_frame(Rsb)=Rsb⋅RR_{sb''}= rotate\_by\_R\_in\_\{b\}\_frame\left( R_{sb} \right) = R_{sb} \cdot RRsb′′​=rotate_by_R_in_{b}_frame(Rsb​)=Rsb​⋅R
这个式子，为什么$R$是右乘？
首先，$R_{sb}$可以被看做是一个算子，可以将{b}系下的向量，表示到{s}系中去。
其次，$R$表示绕{b}系下的$\hat{\omega }$轴旋转。所以$R$中的每一列都代表{b’’}系的x,y,z轴在{b}系下的向量。所以，要将{b}系下的向量转到{s}系上去，自然要用$R_{sb}$乘$R$。

本篇文章结束。

注：为了更好的阅读体验，避免文章过长，原本一章的内容被拆分成了多篇文章。