《Modern Robotics》阅读笔记3——刚体的运动（三）

《Modern Robotics》阅读笔记3——刚体的运动（三）

这篇文章主要讨论了角速度和旋转矩阵的表示方法。

1. 角速度定义

这幅图的左图中，坐标系{x^,y^,z^}\{\hat{x},\hat{y},\hat{z}\}{x^,y^​,z^}绕着$\hat{\omega }$旋转，经过$\Delta t$的时间，旋转了$\Delta \theta$的角度。
假设$\Delta t$无限逼近于0，我们定义$\dot{\theta }=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}$为旋转的速率，结合旋转的方向$\hat{\omega }$，我们就可以定义角速度为：
$$\omega =\hat{\omega }\dot{\theta }$$

这幅图的右图，我们可以得到$\hat{x},\hat{y},\hat{z}$轴方向上的角速度：
$$\begin{array}{c}\dot{\hat{x}}=\omega \times \hat{x}\\ \\ \dot{\hat{y}}=\omega \times \hat{y}\\ \\ \dot{\hat{z}}=\omega \times \hat{z}\end{array}$$

2. 角速度与旋转矩阵的关系

到目前为止，我们并没有指定$\hat{\omega }$向量是在哪个坐标系下表示的，接下来我们要在具体的坐标系表示下讨论这件事了。

假设我们有一个固定坐标系{s}和一个体坐标系{b}，旋转矩阵$R(t)$表示{b}系在{s}系下的姿态（这里主要是强调旋转矩阵是变化的），旋转方向$\hat{\omega }$在{s}系下的表示为${\hat{\omega }}_s$。
其中，$R(t)=R_{sb}(t)=[r_1(t),r_2(t),r_3(t)]$，$r_1(t)$代表{b}系的x轴在{s}系下的表示，$r_2(t),r_3(t)$分别代表y和z轴。

因为${\omega }_s$和$r_1,r_2,r_3$都是{s}系下表示的向量，于是根据上面的公式：
$$\begin{array}{c}\dot{r_1}={\omega }_s\times r_1\\ \\ \dot{r_2}={\omega }_s\times r_2\\ \\ \dot{r_3}={\omega }_s\times r_3\end{array}$$
所以，旋转矩阵的微分形式就可以表达为：
$$\dot{R}=[{\omega }_s\times r_1|{\omega }_s\times r_2|{\omega }_s\times r_3]={\omega }_s\times R=[{\omega }_s]R$$

注：
为了消除这里的叉乘运算，我们可以引入一个新的概念。我们定义$[{\omega }_s]$为向量${\omega }_s\in {\mathbb{R}}^3$的$3\times 3的反对称矩阵，则有$$\omega \times R=[{\omega }_s]R$成立。
当$\omega =[{\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3]$时，
$$[\omega ]=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]$$

回到正题
所以，很显然：
$$[{\omega }_s]=\dot{R}{R}^{-1}$$

现在我们得到了，旋转矩阵$R$和角速度$[{\omega }_s]$的关系。那么，如何求${\omega }_b$与$R$的关系呢？

因为$R\in SO(3)$，有如下关系式成立（读者可以自己证明）：
$$R[\omega ]R^T=[R\omega ]$$

因为${\omega }_b=R_{sb}^T{\omega }_s=R^T{\omega }_s$，所以：
$$\begin{array}{rl}\left[{\omega }_b\right]& =[R^T{\omega }_s]\\ & =R^T\left[{\omega }_s\right]R\\ & =R^T(\dot{R}{R}^T)R\\ & =R^T\dot{R}=R^{-1}\dot{R}\end{array}$$

于是，我们就得到了${\omega }_b$与$R$的关系。

3. 对于角速度的理解

上文中提到的${\omega }_b$，不能理解为当前的运动相对于体坐标系{b}的角速度。而应该理解为，当前运动相对于一个与体坐标系{b}完全对齐的静止坐标系的角速度。

另外，值得注意，${\omega }_s$完全不取决于{b}系如何选择，${\omega }_b$也完全不取决于{s}系如何选择。

本篇文章结束。

注：为了更好的阅读体验，避免文章过长，原本一章的内容被拆分成了多篇文章。