机器人动力学建模之刚体动力学基础学习

刚体动力学基础学习

1 符号

$r$：刚体上某个质量微元对固定点O的位置矢径

$r_P$：刚体上一点P对固定点O的位置矢径

$\rho$：刚体上某个质量微元对基点P的位置矢径

${\rho }_c$：刚体质心C对P的位置矢径

$m$：质量

$v_k$：点k的速度

$\omega$：角速度

$a_k$：点k的加速度

$Q$：动量

$G_k$：关于点k的绝对动量矩

$G_k^{{}^{\prime }}$：关于点k的相对动量矩

$F$：合外力

$L_k$：对点k的合外力矩

2 动量

$$Q={\int }_m\dot{r}\mathrm{d}\mathrm{m}=m{\dot{r}}_c=m{v}_c\text{\hspace{1em}(2-1)}$$

3 动量矩

动量矩的这部分内容相对复杂，因为要分成好多种情况进行讨论。分别是：

• 对固定点的动量矩
• 对动点的绝对动量矩
• 对动点的相对动量矩

首先，要对动点和固定点做区分。动点就是在动坐标系上的点，固定点就是在固定坐标系（或者说是惯性系）下的点。

其次，要对绝对动量矩和相对动量矩做区分。动量矩的计算公式是矢径和速度的乘积的积分，所谓绝对动量矩就是用绝对速度求解的动量矩，而相对动量矩就是用相对速度（相对动坐标系的速度）来求解的动量矩。由此可知，对固定点求动量矩，都没有绝对动量矩和相对动量矩的说法，因为对固定点都是绝对动量矩。而对于动点求动量矩，就有二者的区分。

另外，特别值得注意的是，动点中有一个点，非常特殊，那就是质心，它是占据有非常特殊地位的一个动点。对于质心而言，绝对动量矩和相对动量矩是相等的。而对于一般的动点，这一条完全不成立。

3.1 对固定点O的动量矩

$$\begin{array}{rl}{G}_O& ={\int }_{m}r\times \dot{r}\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\int }_m(r_P+\rho )\times ({\dot{r}}_P+\dot{\rho })\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\int }_m(r_P+\rho )\times (v_P+\omega \times \rho )\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & =r_P\times v_{c}m+{\rho }_c\times v_{P}m+J_P\cdot \omega \end{array}\text{\hspace{1em}(3-1)}$$

3.2 对动点P的相对动量矩

公式(3-1)右端的第三项，实际上就是刚体在相对P点平动坐标系运动中对P点的动量矩。
$$G_P^{{}^{\prime }}=J_P\cdot \omega \text{\hspace{1em}(3-2)}$$
它的意思就是说，假设有一个坐标系固连在P点上，这个坐标系相对固定点O在平动，然后，计算刚体相对于P点的动量矩。因此，上式也可以写成：
$$\begin{array}{rl}{G}_P^{{}^{\prime }}& ={\int }_m\rho \times \dot{\rho }\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\int }_m({\rho }_c+{\rho }^{{}^{\prime }})\times ({\dot{\rho }}_c+{\dot{\rho }}^{{}^{\prime }})\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\rho }_c\times {\dot{\rho }}_{c}m+J_c\cdot \omega =J_P\cdot \omega \end{array}\text{\hspace{1em}(3-3)}$$

3.3 对动点P的绝对动量矩

公式(3-1)右端的第二和第三项，实际上是刚体对P点的绝对动量矩。
$$G_P={\rho }_c\times v_{P}m+J_P\cdot \omega \text{\hspace{1em}(3-4)}$$
而上式又可以写作：
$$\begin{array}{rl}{G}_P& ={\int }_m\rho \times \dot{r}\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\int }_m({\rho }_c+{\rho }^{{}^{\prime }})\times \dot{r}\mathrm{d}\mathrm{m}\\ & ={\rho }_c\times v_{c}m+J_c\cdot \omega \end{array}\text{\hspace{1em}(3-5)}$$

3.4 对质心C的相对动量矩和绝对动量矩

相对动量矩
$$G_c^{{}^{\prime }}=J_c\cdot \omega \text{\hspace{1em}(3-6)}$$
刚体在绝对运动（相对于固定点O的运动）中，对刚体质心的动量矩，等于，刚体在相对运动（相对基点P的运动）中对质心的动量矩。即：
$$G_c=G_c^{{}^{\prime }}\text{\hspace{1em}(3-7)}$$

3.5 固定点的动量矩与对动点的动量矩之间的关系

对固定点的动量矩与对动点P的绝对动量矩的关系为：
$$G_O=r_P\times v_{c}m+G_P=r_P\times v_{c}m+{\rho }_c\times v_{c}m+J_c\cdot \omega \text{\hspace{1em}(3-8)}$$
当P点就是C点时，
$$G_O=r_c\times v_{c}m+J_c\cdot \omega =r_c\times v_{c}m+G_c\text{\hspace{1em}(3-9)}$$

4 动量定理

$$\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=F=m{\ddot{r}}_c=m{a}_c\text{\hspace{1em}(4-1)}$$

上式便是牛顿动力学方程。

5 动量矩定理

5.1 动量矩基本定理（无需证明的）

刚体对固定点O的动量矩定理：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_O=L_O\text{\hspace{1em}(5-1)}$$
刚体对质心的动量矩定理：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_c=L_c\text{\hspace{1em}(5-2)}$$

5.2 刚体对动点的绝对动量矩定理

首先申明，刚体对动点的绝对动量矩就是前文推导的$G_P$。对动点的绝对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是绝对速度。

所以，
$$G_P={\int }_m\rho \times \dot{r}\mathrm{d}\mathrm{m}={\rho }_c\times v_{c}m+G_c\text{\hspace{1em}(5-3)}$$
所以求导，
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_P& ={\dot{\rho }}_c\times m{v}_c+{\rho }_c\times m{a}_c+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_c\\ & =({\dot{r}}_c-{\dot{r}}_P)\times m{v}_c+{\rho }_c\times F+L_c\\ & =-v_P\times m{v}_c+L_P\end{array}\text{\hspace{1em}(5-4)}$$
其中，$L_P$代表了刚体所受的外力系对动点P的主矩，它的定义为：
$$L_P={\rho }_c\times F+L_c\text{\hspace{1em}(5-5)}$$
最终，刚体对动点的绝对动量矩定理的表达形式为：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_P=-v_P\times m{v}_c+L_P\text{\hspace{1em}(5-6)}$$

5.3 刚体对动点的相对动量矩定理

首先申明，刚体对动点的相对动量矩就是前文推导的$G_P^{{}^{\prime \prime }}$。对动点的相对动量矩的意思就是，对平移坐标系的原点求动量矩，但是求解时用的是相对速度。
$$G_P^{{}^{\prime }}={\int }_m\rho \times \dot{\rho }\mathrm{d}\mathrm{m}={\rho }_c\times {\dot{\rho }}_{c}m+G_c\text{\hspace{1em}(5-7)}$$
求导：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_P^{{}^{\prime }}& ={\rho }_c\times m{\ddot{\rho }}_c+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_c\\ & ={\rho }_c\times m({\ddot{r}}_c-{\ddot{r}}_P)+L_c\\ & ={\rho }_c\times m{a}_c-{\rho }_c\times m{a}_P+L_c\\ & ={\rho }_c\times F-{\rho }_c\times m{a}_P+L_c\\ & =-{\rho }_c\times m{a}_P+L_P\end{array}\text{\hspace{1em}(5-8)}$$
又因为，$G_P^{{}^{\prime }}=J_P\cdot \omega$，其中$J_P$是一个张量在某组坐标系（基）下的坐标矩阵，它的取值和基的选取非常相关。如果$J_P$表示在固定坐标系下，那么由于刚体的旋转，$J_P$的取值时时刻刻都会发生变化。而如果$J_P$表示在与刚体固连的动坐标系下，那么其取值可以为一个常量。另外，必须注意，当$J_P$表示在动坐标系下时，此时公式中相应的$\omega$也是表示在动坐标系下的。所以：
$$\begin{array}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_P^{{}^{\prime }}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(J_P\cdot \omega )=J_P\cdot \dot{\omega }+\omega \times J_P\cdot \omega \end{array}\text{\hspace{1em}(5-9)}$$

所以，若把公式(5-9)带入公式(5-8)，可得：
$$J_P\cdot \dot{\omega }+\omega \times J_P\cdot \omega +{\rho }_c\times m{a}_P=L_P\text{\hspace{1em}(5-10)}$$
若P点就是质心，则${\rho }_c=0$，由公式(5-10)，可得：
$$J_c\cdot \dot{\omega }+\omega \times J_c\cdot \omega =L_c\text{\hspace{1em}(5-11)}$$
上式便是鼎鼎大名的欧拉动力学方程了。

最终，刚体对动点的相对动量矩定理的表达形式为：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{G}_P^{{}^{\prime }}=-{\rho }_c\times m{a}_P+L_P\text{\hspace{1em}(5-12)}$$

6 牛顿—欧拉公式

$$\begin{array}{rl}& F=m{a}_c\\ & L_c=J_c\cdot \dot{\omega }+\omega \times J_c\cdot \omega \end{array}\text{\hspace{1em}(6-1)}$$

以上，是大名鼎鼎的牛顿欧拉公式，看着形式很简单，但在应用时，有一些细节务必注意。

• $a_c$是质心处的绝对加速度
• $J_c$是质心处定义的在动坐标系下表示的惯性张量
• $\omega$是刚体在动坐标系下表示的角速度，通常也就是体坐标系
• $L_c$是对质心的合外力矩

7 利用牛顿—欧拉公式推导常见的多连杆机器人动力学方程

假设所有量都是表示在动坐标系下的，也就是刚体的随体坐标系{b}系，另外{b}系的原点设置在b点，b点与刚体质心不重合。此时的牛顿欧拉方程为：
$$\begin{array}{rl}& F^b=m{a}_c^b\\ & L_c^b=J_c\cdot {\dot{\omega }}^b+{\omega }^b\times J_c\cdot {\omega }^b\end{array}\text{\hspace{1em}(7-1)}$$
首先分析牛顿方程：
$$\begin{array}{rl}& v_c^b=v_b^b+{\omega }^b\times r_{bc}^b\\ & {\dot{v}}_c^b={\dot{v}}_b^b+{\omega }^b\times v_b^b+({\dot{\omega }}^b+{\omega }^b\times {\omega }^b)\times r_{bc}^b+{\omega }^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)\\ & a_c^b={\dot{v}}_c^b={\dot{v}}_b^b+{\omega }^b\times v_b^b+{\dot{\omega }}^b\times r_{bc}^b+{\omega }^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)\end{array}\text{\hspace{1em}(7-2)}$$
所以，得到结论：
$$\begin{array}{rl}& F^b=m{\dot{v}}_b^b+m{\omega }^b\times v_b^b+m{\dot{\omega }}^b\times r_{bc}^b+m{\omega }^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)\end{array}\text{\hspace{1em}(7-3)}$$
接下来分析欧拉方程：
$$\begin{array}{rl}{L}_b^b& =L_c^b+r_{bc}^b\times F^b=L_c^b+m{r}_{bc}^b\times a_c^b\\ & =J_c\cdot {\dot{\omega }}^b+{\omega }^b\times J_c\cdot {\omega }^b+m{r}_{bc}^b\times {\dot{v}}_b^b+m{r}_{bc}^b\times ({\omega }^b\times v_b^b)+m{r}_{bc}^b\times ({\dot{\omega }}^b\times r_{bc}^b)\\ & +m{r}_{bc}^b\times [{\omega }^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)]\\ & =(J_c+m{r}_{bc}^b\cdot r_{bc}^b\cdot I_{3\times 3}-m{r_{bc}^b}^T{r}_{bc}^b)\cdot {\dot{\omega }}^b+{\omega }^b\times J_c\cdot {\omega }^b+m{r}_{bc}^b\times {\dot{v}}_b^b\\ & +m{r}_{bc}^b\times ({\omega }^b\times v_b^b)+m{\omega }^b\times [r_{bc}^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)]\\ & =(J_c+m{r}_{bc}^b\cdot r_{bc}^b\cdot I_{3\times 3}-m{r_{bc}^b}^T{r}_{bc}^b)\cdot {\dot{\omega }}^b+m{r}_{bc}^b\times {\dot{v}}_b^b\\ & +m{r}_{bc}^b\times ({\omega }^b\times v_b^b)+{\omega }^b\times (J_c+m{r}_{bc}^b\cdot r_{bc}^b\cdot I_{3\times 3}-m{r_{bc}^b}^T{r}_{bc}^b)\cdot {\omega }^b\end{array}\text{\hspace{1em}(7-4)}$$
最终形式为：
$$L_b^b=J_b\cdot {\dot{\omega }}^b+m{r}_{bc}^b\times {\dot{v}}_b^b+m{r}_{bc}^b\times ({\omega }^b\times v_b^b)+{\omega }^b\times J_b\cdot {\omega }^b\text{\hspace{1em}(7-5)}$$
其中：
$$J_b=J_c+m{r}_{bc}^b\cdot r_{bc}^b\cdot I_{3\times 3}-m{r_{bc}^b}^T{r}_{bc}^b\text{\hspace{1em}(7-6)}$$
所以，结合牛顿和欧拉方程，写成矩阵形式，有：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{F}^b\\ L_b^b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}m{I}_{3\times 3}& -m[r_{bc}^b{]}_{\times }\\ m[r_{bc}^b{]}_{\times }& J_b\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{v}}_b^b\\ {\dot{\omega }}^b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}m{\omega }^b\times v_b^b+m{\omega }^b\times ({\omega }^b\times r_{bc}^b)\\ m{r}_{bc}^b\times ({\omega }^b\times v_b^b)+{\omega }^b\times J_b\cdot {\omega }^b\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(7-7)}$$