22、从 λ 演算到类型系统：深入探索编程表达与类型控制

从 λ 演算到类型系统：深入探索编程表达与类型控制

1. λ 演算中的类型与函数表达

1.1 类型定义与 λ 表达式映射

在 λ 演算中，具有 m 个构造器的类型定义可以映射为 m 个 λ 表达式。例如，对于类型定义，每个构造器都有对应的 λ 表达式：
- (C_1 \equiv \lambda v_{1,1} \cdots v_{1,n_1} f_1 \cdots f_m . f_1 v_{1,1} \cdots v_{1,n_1})
- (\cdots)
- (C_m \equiv \lambda v_{m,1} \cdots v_{m,n_m} f_1 \cdots f_m . f_m v_{m,1} \cdots v_{m,n_m})

基于这种类型定义的（多情况）模式函数 (f)，在 Haskell 或 Clean 中定义如下：

f (C1 v1,1 ... v1,n1 ) = body1
...
f (Cm vm,1 ... vm,nm ) = bodym

该函数可转换为以下 λ 表达式（当然，函数体也需要进行编码）：

f ≡λx . x
(λv1,1 ... v1,n1 . body1)
...
(λvm,1 ... vm,nm . bodym)

1.2 Church 编码与 Scott 编码的转换

Church 编码和 Scott 编码的数字可以相互转换。由于折叠操作会用函数替