37、邮票折叠和半曲折线的循环旋转格雷码生成

邮票折叠和半曲折线的循环旋转格雷码生成

1. 引言

在组合生成领域，将组合对象的实例按照特定规则排列，使得相邻实例之间的变化量恒定，这样的列表被称为格雷码。其中，二进制反射格雷码（BRGC）是一种经典的格雷码，它将长度为 $n$ 的 $2^n$ 个二进制字符串按顺序排列，使得相邻字符串仅相差一位。而在本文中，我们聚焦于邮票折叠和半曲折线的循环旋转格雷码，相邻字符串通过邮票旋转产生差异。

• 邮票折叠 ：把一条由 $n$ 张邮票组成的线性纸条折叠成一摞的方式，假设邮票之间的穿孔具有无限弹性。例如，当 $n = 4$ 时，有 16 种邮票折叠方式，每种方式可以用一个唯一的排列表示，如 1234、1243 等。但并非所有排列都对应有效的邮票折叠，像 1423 这种排列要求邮票条自身相交，就不是有效的邮票折叠。
• 半曲折线 ：是一种特殊的邮票折叠，当 $n$ 为偶数时，邮票 $n$ 能从上方看到；当 $n$ 为奇数时，邮票 $n$ 能从下方看到。例如，1234 是半曲折线，而 2143 不是，因为邮票 4 被邮票 2 和邮票 3 之间的穿孔挡住，无法从上方看到。

邮票折叠和相关问题的研究历史悠久，吸引了众多数学家的关注。它们在机器人覆盖路径规划、条件随机游走以及蛋白质折叠等领域都有广泛应用。同时，邮票折叠和半曲折线的枚举序列分别对应在线整数序列百科全书中的 A000136 和 A000682，但目前尚未找到这两个枚举序列的封闭公式。

前十个枚举序列的值如下表所示：
| 类型 | 前十个枚举序列值 |
| ---- | ----