16、非可逆输入矩阵：代数与几何视角下的系统同步研究

非可逆输入矩阵：代数与几何视角下的系统同步研究

1. 线性化系统分析

在研究系统同步问题时，首先涉及到对系统的线性化处理。对于满足特定条件的系统，有如下推导：$D_{\bar{x}}(∗)$ 表示 $∗$ 在 $\bar{x}$ 处的雅可比矩阵，且 $\bar{x} 1 = \cdots = \bar{x}_N$。由于在任意 $\bar{x}_i$（$1 \leq i \leq N$）处，$D {\bar{x}}(F) = I_N \otimes D_{\bar{x} i}(f)$，所以可得 $D {\bar{x}}(M_{\sigma}(t)F) = D_{\bar{x}}(F)e_{\sigma}(t)$。根据 $e_{\sigma}(t)$ 的定义，(4.39) 式的线性化版本为 $\dot{e} {\sigma}(t) = D {\bar{x}}(F)e_{\sigma}(t) - \varphi(L_{\sigma}(t) \otimes \Gamma)e_{\sigma}(t)$（4.51）。不过，要得到这个式子，要求初始状态处于同步流形附近。

对于 Lipschitz 非线性系统（4.32），在满足假设 4.19 和 4.21 的条件下，若 $g(c^{1/2})$ 在有界时间区间内有界，并且对于任意 $x \in R^{nN}$ 都有 $|D_{\bar{x}}(F)| < \rho$（$\rho$ 为假设 4.21 中的参数），那么当耦合强度 $\varphi$ 足够大时，系统能实现局部同步。

2. 数值示例

为了验证上述理论结果，进行了一些模拟实验。
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