2、线性代数基础：矩阵与向量运算及基本空间解读

线性代数基础：矩阵与向量运算及基本空间解读

1. 矩阵运算

矩阵可以进行加、减、乘运算，但不存在矩阵除法，不过有类似的概念——矩阵求逆。
- 矩阵索引 ：使用元组来索引矩阵，第一个索引代表行号，第二个索引代表列号。
- 矩阵加法 ：要相加两个矩阵 (A) 和 (B)，需遍历两个矩阵的每个索引 ((i,j))，将当前索引处的两个元素相加，并将结果放在新矩阵 (C) 的相同索引 ((i,j)) 处。这意味着形状不同的两个矩阵不能相加，且最终矩阵 (C) 与 (A) 和 (B) 形状相同。
- 数乘矩阵 ：将一个标量与矩阵的每个元素相乘，结果矩阵的形状保持不变。
- 矩阵减法 ：计算 (A - B) 等同于计算矩阵加法 (A + (-B))，其中 (-B) 是标量 (-1) 与矩阵 (B) 的乘积。
- 矩阵乘法 ：矩阵乘积 (A · B) 定义为 (A · B_{i, j} = \sum_{k’ = 1}^{k}A_{i, k’}B_{k’, j})，即 (A · B) 在索引 ((i,j)) 处的值是 (A) 的第 (i) 行元素与 (B) 的第 (j) 列元素乘积的和。两个矩阵相乘的前提是 (A) 的列数等于 (B) 的行数，即形状要匹配。矩阵乘法的结果维度为 (m) 行 (n) 列，其中 (A) 是 (m) 行 (k) 列，(B) 是 (k) 行 (n) 列。需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即 (A · B \neq B · A)，但满足结合律，即 (A · (B + C) =