28、建筑声学测量中的不确定性与空间平均方法

h0i1j2k3l

于 2025-11-07 14:53:21 发布

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分类专栏：建筑隔音的科学与艺术文章标签：建筑声学声压级测量不确定性

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建筑声学测量中的不确定性与空间平均方法

1. 声压级测量的不确定性

1.1 概率密度函数

在建筑声学中，声压级测量的不确定性通常基于高斯（正态）分布的假设，不过在高于施罗德极限频率时，这只是一个近似。在扩散声场中，声压级L与空间平均值的均方根偏差为5.6 dB。但概率密度函数并非对称的高斯分布，在纯音激励的房间中，均方声压遵循泊松分布。

概率密度函数可以数学表示为：
[w(z) = \frac{e^{-z}}{1 + e^{-z}}]
其中：
[z = \frac{L - L_0}{L_0} \ln{10} \approx 4.34 \frac{L - L_0}{L_0}]
这里，L是任意点的声压级，$L_0$ 是对应于均方声压空间平均值的声压级。

泊松分布是不对称的，这意味着空间平均声压级 (L) 比$L_0$低2.5 dB。测量声压级L小于$L_0$的概率为63％，而超过$L_0$的概率仅约为37％。其他特征测量值如下表所示：
| 特征 | 值 |
| ---- | ---- |
| 中位数 (50％) 水平 | $L_0 - 1.6$ dB |
| 68％置信区间 | (-7.6 dB; 2.7 dB) |
| 95％置信区间 | (-16 dB; 5.7 dB) |

如果在纯音激励的房间中移动麦克风，声压级波动超过20 dB，但最大值仅比空间平均值$L_0$高约6 dB。

当不能假设为扩散声场时（低于施罗德极限频率），可以假设为矩形房间进行分析。在斜模式（所有n ≠ 0）下，八个角落的声压级比空间平均均方声压的声压级$L_0$高9 dB；在切向模式（两个n ≠ 0）下，最高声压级比房间平均值高6 dB；在轴向模式（一个n ≠ 0）下，最高声压级比房间平均值高3 dB。

不同类型房间模式的累积概率曲线如下：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A(斜模式):::process --> B(约40％位置声压级低于$L_0$):::process
    A --> C(约60％位置声压级高于$L_0$):::process
    A --> D(中位数水平比$L_0$高1.5 - 1.7 dB):::process
    E(切向模式):::process --> B
    E --> C
    E --> D
    F(轴向模式):::process --> G(中位数水平等于$L_0$):::process
    F --> H(概率密度函数强烈不对称):::process
    I(腔模式):::process --> J(所有部分声压相等):::process
    I --> K(方差为零):::process
    I --> L(累积概率曲线为$L_0$处的垂直线):::process

1.2 应避免的区域

低于施罗德极限频率时，房间中的声场不是随机的，可以选择测量位置以最小化测量不确定性。在第一个轴向模式被激发时，应避免距离墙壁超过房间尺寸1/3的中央区域，测量最好在角落区域进行，因为那里的空间变化有限。

高于施罗德极限频率时，情况相反。在扩散声场中，纯音激励下，靠近墙壁应避免距离小于0.2λ的区域，靠近角落应避免距离小于0.7λ的区域，测量最好在房间的中央区域进行，但实际中除非房间很大，否则很难避免这些干扰区域。

1.3 测量时间的影响

测量时间t也会对测量不确定性产生影响。对于带宽为B的带限噪声，时间平均均方声压$p^2$的相对方差为：
[\varepsilon_t^2 = \frac{2}{Bt}]
其中t是测量时间（或积分时间）。

测量时间可以通过以下公式计算：
[t = \frac{2}{B} \left(\frac{k(g)}{U(L_p)}\right)^2 4.34]

总相对空间方差为：
[\varepsilon^2 = \varepsilon_t^2 + \varepsilon_R^2]
在许多情况下，如果积分时间t满足：
[t \gg 0.29 \frac{T}{B} + 2]
其中T是房间的混响时间，B是测量的带宽，通常可以忽略测量时间对不确定性的贡献。一个简单的经验法则是，每个位置的积分时间应至少是房间混响时间的三倍。

1.4 积分脉冲响应方法

新的高效测量方法使用最大长度序列方法或扫频正弦方法生成脉冲响应，然后进行积分以获得总声压级。这些方法有两个主要优点：提高了信噪比，避免了传统宽带噪声激励的随机性，因此可以忽略测量时间对不确定性的影响（即$\varepsilon_t^2 = 0$），相当于使用噪声信号进行无限积分时间的测量。

2. 空间平均

2.1 相关系数

在两个不同位置获取的声压$p_1$和$p_2$之间的相关系数R定义为：
[R = \frac{\overline{p_1 p_2}}{\sqrt{\overline{p_1^2} \overline{p_2^2}}}]
其中上划线表示时间平均值。

在三维扩散声场中，相关系数为：
[R = \frac{\sin(kx)}{kx}]
其中$k = \frac{2\pi f}{c}$是波数，x是两个位置之间的距离。当$kx = \pi$时，$R = 0$；当$kx > \pi$时，R相对较小。对于实际应用，当$x \geq \frac{\lambda}{2}$时，$R \approx 0$。这意味着房间中麦克风位置之间的距离必须至少为半个波长，才能获得不相关的测量位置。此外，麦克风位置到反射表面的距离必须至少为$\frac{\lambda}{4}$。

2.2 离散空间平均

由于房间内的空间变化，声压测量通常是在多个测量位置上对均方声压进行平均。如果位置之间的距离足够大（$x \geq \frac{\lambda}{2}$），测量可以被认为是不相关的，平均结果的相对方差为：
[\varepsilon_N^2 = \frac{\varepsilon_R^2}{N}]
如果麦克风位置之间的距离不能满足最小要求，可以根据以下公式计算等效不相关位置的数量：
[N_{eq} = \frac{N}{1 + \sum_{i \neq j} R(kx_{ij})}]
其中N是实际麦克风位置的数量，$x_{ij}$表示位置i和j之间的距离。

当位置均匀分布在半径为r的圆上时，等效不相关位置的数量可以通过以下经验公式估计：
[N_{eq} \approx \min\left{N, \min\left{N, 1 + \frac{c}{4\pi r f}\right}^{\frac{1}{3}}\right}]

2.3 连续空间平均

作为多个固定麦克风位置的替代方法，也可以使用连续空间平均。通常是将麦克风安装在可以缓慢旋转的支架上，半径为r，并且最好在不与任何房间表面平行的平面内。

在假设为三维扩散声场的情况下，不同类型连续空间平均的等效不相关位置数量如下表所示：
| 平均区域 | 近似$N_{eq}$ |
| ---- | ---- |
| 长度为L的直线 | $1 + \frac{2L}{\lambda}$ |
| 周长为L的圆 | $\frac{2L}{\lambda}$ |
| 面积为S的圆盘 | $1 + \frac{S}{(\frac{\lambda}{2})^2}$ |
| 面积为S的矩形表面 | $\frac{S}{(\frac{\lambda}{2})^2}$ |
| 体积为V的矩形盒子 | $\frac{V}{(\frac{\lambda}{2})^3}$ |

圆路径常用于隔音测量，特别是在实验室中。

3. 混响时间测量的不确定性

3.1 一般情况

衰减率测量的不确定性已被研究。衰减率d（dB/秒）与混响时间T（秒）的关系为$d = \frac{60}{T}$。

测量可以在同一位置重复进行，n表示每个位置测量的衰减次数。每个位置的集合方差为$\varepsilon_e^2(d)$，空间方差为$\varepsilon_s^2(d)$，独立测量位置的数量为N。则平均混响时间的估计相对标准偏差为：
[\frac{\sigma(T)}{T} = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\frac{\varepsilon_s^2(d)}{d^2} + \frac{\varepsilon_e^2(d)}{n d^2}\right)}]

3.2 中断噪声方法

在使用中断噪声方法进行测量时，通过将相关结果代入上述公式可得：
[\frac{\sigma(T)}{T} = \sqrt{\frac{G}{Hn} + \frac{1}{NBT}}]
其中：
- T是混响时间（秒）。
- $\sigma(T)$是T的标准偏差（秒）。
- G和H是取决于评估范围的常数。
- n是每个位置测量的衰减次数。
- N是独立测量位置的数量。
- B是带宽（Hz）。

G和H的值取决于评估范围D和参数$\gamma = \frac{T}{T_{det}}$（测量混响时间与测量设备固有混响时间的比值）。对于一些典型的D和$\gamma$值，G和H的值如下表所示：
| 评估范围D (dB) | G ($\gamma = 3$) | G ($\gamma = 5$) | G ($\gamma = 10$) | H ($\gamma = 3$) | H ($\gamma = 5$) | H ($\gamma = 10$) |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 10 | 1.75 | 2.67 | 3.32 | 3.87 | | |
| 20 | 0.88 | 1.72 | 1.90 | 2.04 | | |
| 30 | 0.55 | 1.42 | 1.52 | 1.59 | | |

标准ISO 3382 - 2定义了三个精度级别，对应着每个位置的最小测量位置数量和衰减次数，如下表所示：
| 精度级别 | 最小测量位置数量N | 每个位置的最小衰减次数n |
| ---- | ---- | ---- |
| 级别1 | | |
| 级别2 | | |
| 级别3 | | |

以下是混响时间测量不确定性相关参数的关系流程图：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A(评估范围D):::process --> B(G和H的值):::process
    C(参数γ):::process --> B
    B --> D(中断噪声方法公式中的G和H):::process
    E(混响时间T):::process --> D
    F(带宽B):::process --> D
    G(独立测量位置数量N):::process --> D
    H(每个位置测量的衰减次数n):::process --> D
    D --> I(平均混响时间的估计相对标准偏差):::process

4. 总结与实际应用建议

4.1 声压级测量总结

声压级测量的不确定性与声场特性密切相关。在高于施罗德极限频率时，可近似认为声压级遵循高斯分布，但实际是泊松分布。低于该频率时，不同房间模式（斜模式、切向模式、轴向模式等）对声压分布有不同影响。
测量时应根据频率范围选择合适的测量位置。低于施罗德极限频率，选择角落区域；高于该频率，选择中央区域，但要避免靠近墙壁和角落的干扰区域。
测量时间对不确定性有影响，积分时间应至少是房间混响时间的三倍，可使用积分脉冲响应方法消除测量时间的影响。

4.2 空间平均总结

相关系数决定了麦克风位置之间的相关性，位置距离至少为半个波长才能获得不相关测量结果，到反射表面距离至少为$\frac{\lambda}{4}$。
离散空间平均和连续空间平均是两种常用的空间平均方法。离散空间平均需保证位置距离足够大，否则要计算等效不相关位置数量；连续空间平均可根据不同的平均区域使用相应公式计算等效不相关位置数量。