27、建筑隔音与测量不确定性解析

建筑隔音与测量不确定性解析

1. 建筑隔音振动降低指数计算

在建筑隔音领域，振动降低指数是一个重要的参数，它的计算公式为：
[K_{ij}=10\lg\left(\frac{D_{v_{ij}}l_{ij}}{a_i + a_j}\right) \text{ (dB)}]
其中：
- (D_{v_{ij}}) 是方向平均振动水平差（dB）。
- (l_{ij}) 是元素 (i) 和 (j) 之间连接点的长度（m）。
- (a_i) 和 (a_j) 分别是元素 (i) 和 (j) 的等效吸收长度（m）。

2. 测量不确定性的统计概念

2.1 测量结果的不确定性

测量过程中涉及到一些关键的概念和定义：
- 被测量 (z)：即所测量的物理量，例如声压级或混响时间。
- 平均值 (\langle z \rangle)：所有测量值 (z) 的算术平均值。对于房间内的声压级，是所有测量位置上声压平方的算术平均值。
- 方差 (\sigma^2)：与平均值的均方偏差。
- 标准差 (\sigma)：方差的平方根。对于房间内的声压级，是所有测量位置上声压平方平均值的均方根（RMS）偏差。标准差可以通过实验从测量数据中确定，也可以从假设的概率分布中推导得出。
- 不确定度：表征测量结果的分散性，可能是标准差或具有指定置信水平的区间半宽度。
- 标准不确定度 (u)：以标准差表示的测量结果的不确定度。对于高斯分布，(u = \sigma)。
- 扩展不确定度 (U)：定义一个围绕测量结果的区间，该区间预计包含大部分测量值分布。(U = k \cdot u)。
- 覆盖因子 (k)：用于乘以标准不确定度以获得扩展不确定度的因子。它取决于统计分布函数、置信水平以及是单侧检验还是双侧检验。
- 置信水平 (g)：测量结果在某个范围内的统计概率，分为双侧（在平均值两侧）和单侧（在平均值一侧）。

2.2 高斯分布

高斯分布是最常用的统计分布，也称为正态分布。若平均值为 (\mu)，标准差为 (\sigma)，其概率密度函数为：
[w(z)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z - \mu)^2}{2\sigma^2}}]
这是一个对称分布，随机样本落在 (\mu \pm \sigma) 范围内的概率为 68%，落在 (\mu \pm 2\sigma) 范围内的概率为 95%。

2.3 置信水平

假设为高斯分布时，测量结果是真实结果的估计值，真实结果将落在 (\langle z \rangle \pm k(g) \cdot \sigma(z)) 范围内，其中 (\sigma(z)) 是标准差，(k(g)) 是取决于置信水平 (g) 的覆盖因子。具体的置信水平 (g) 和对应的覆盖因子 (k) 如下表所示：
| 覆盖因子 (k) | 双侧检验置信水平 (g) (%) | 单侧检验置信水平 (g) (%) |
| — | — | — |
| 1.00 | 68 | 84 |
| 1.28 | 80 | 90 |
| 1.65 | 90 | 95 |
| 1.96 | 95 | 97.5 |
| 2.58 | 99 | 99.5 |
| 3.29 | 99.9 | 99.95 |

当测量结果不与任何目标值比较时，采用双侧检验。例如，以 95% 的概率，真实结果在 (\pm 1.96) 倍标准差（扩展不确定度 (U)）的范围内。当测量结果与要求进行比较时，采用单侧检验。例如，选择 90% 的置信水平，单侧检验的覆盖因子 (k = 1.28)，这意味着如果 (\langle z \rangle + k(g) \cdot \sigma(z) = \langle z \rangle + 1.28 \cdot \sigma(z) < z_{max})，则以 90% 的概率不会超过上限 (z_{max})。可以看出，在相同置信水平下，单侧检验的覆盖因子小于双侧检验。

3. 房间内声压的方差

3.1 纯音激励

当频率高于施罗德极限频率时，统计方法可应用于声场。单一频率的声音激发会涉及多个固有频率接近激发频率的房间模式。在测量点，声压是被激发的房间模式贡献的总和，每个模式由其振幅和相位角表示。
若在房间内缓慢移动麦克风并发出纯音，声压级会剧烈变化，这种波动看似随机。波动范围可以用相对空间方差来描述：
[\varepsilon_R^2 = \frac{\sigma(p^2)}{\langle p^2 \rangle} = \frac{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2}{\langle p^2 \rangle}]
其中 (\sigma(p^2)) 是声压平方的标准差，(\langle p^2 \rangle) 是空间平均值。声压是时间平均的均方根值。

3.2 带限噪声激励

假设为扩散声场且频率高于施罗德极限频率 (f_g)：
[f_g = \frac{2000}{\sqrt{T V}} \text{ (Hz)}]
其中 (T) 是混响时间（s），(V) 是房间体积（m³）。
如果用带限噪声信号激发房间，且带宽为 (B)（Hz），相对空间方差（Lubman，1968）近似为：
[\varepsilon_R^2 \approx \frac{2\arctan(Z)}{Z} - \frac{1}{Z^2}\ln(1 + Z^2)]
其中 (Z = \frac{B}{B_r}) 是噪声信号带宽 (B) 与典型房间模式带宽 (B_r) 的比值。混响时间为 (T) 时，模式带宽 (B_r \approx \frac{2.2}{T})。如果带宽 (B) 不是很小，相对空间方差的一个良好近似为：
[\varepsilon_R^2 \approx \frac{1}{1 + \frac{B}{B_r}} = \frac{1}{1 + \frac{BT}{6.9}}]
该近似在 (BT > 20) 时误差在 2.5% 以内，否则使用前面的精确公式。
在实际测量中，通常使用宽带噪声信号和一系列带限滤波器。无论带限滤波器在测量链中的位置如何，上述公式仍然是有效的近似。常见的滤波器有倍频程带（(B = 0.71f)）和三分之一倍频程带（(B = 0.23f)），其中 (f) 是频带的中心频率。
在纯音（带宽 (B = 0) Hz）的极端情况下，(\varepsilon_R^2 = 1)，对应声压级的标准差为 5.6 dB。因此，在房间内用纯音激发时，声压级的变化范围约为 22 dB（假设高斯分布，概率为 95%）。但这些结果是以声压级作为被测量得出的，这会引入偏差误差。偏差误差和以 dB 为单位的标准差可以通过 (BT) 乘积来估计，部分值如下表所示：
| (1 + \frac{BT}{6.9}) | 1 | 3 | 10 | 30 | 100 | 300 | 1000 |
| — | — | — | — | — | — | — | — |
| (BT) | 0 | 14 | 62 | 200 | 683 | 2063 | 6893 |
| 偏差 (D) (dB) | 2.51 | 0.76 | 0.22 | 0.07 | 0.02 | 0.00 | 0.00 |
| 标准差 (\sigma) (dB) | 5.57 | 2.73 | 1.41 | 0.80 | 0.44 | 0.25 | 0.14 |

偏差意味着正确的能量平均声压级 (L_{p2}) 大于或等于简单的算术 dB 平均值 (L_{dB})，差值即为偏差 (D) 误差：
[L_{p2} = L_{dB} + D \text{ (dB)}]

3.3 低频下的方差

低于施罗德极限频率时，模态重叠指数较小（小于 3），房间模式可能过于分散，无法填满所测量的频带。因此，模式的有效带宽可能小于测量带宽。Lubman（1974）建议用有效噪声带宽 (B_{eff}) 代替测量带宽 (B)，(B_{eff}) 计算为频带 (B) 内的模式数量乘以模式带宽 (B_r)：
[B_{eff} = \Delta N(B) \cdot \kappa \cdot B_r]
其中 (\Delta N(B)) 是带宽 (B) 内的模式数量，重叠因子 (\kappa \leq 1) 用于考虑模式之间的重叠程度。即使模态重叠指数 (M < 3)，在低于 (f_g) 至少一个倍频程的某个频率范围内，每个模式带宽内仍然有不止一个模式（(M > 1)）。
相对空间方差用 (Z = \frac{B_{eff}}{B_r} = \Delta N(B) \cdot \kappa) 代入前面的公式计算。使用近似公式可得：
[\varepsilon_R^2 \approx \frac{1}{1 + \frac{\Delta N(B) \cdot \kappa}{\pi}} \text{ ，对于 } f < f_g]
重叠因子 (\kappa) 通过与经验数据比较估计为 (\kappa = 0.37 = \frac{\pi}{8.5})。因此，低于极限频率时相对空间方差的近似公式为：
[\varepsilon_R^2 \approx \frac{1}{1 + \frac{\Delta N(B)}{8.5}} \text{ ，对于 } f < f_g]
其中 (\Delta N(B)) 是测量带宽 (B) 内的房间模式数量。

在常见的三分之一倍频程带测量中，将 (B = 0.23f) 和模态密度代入公式，相对空间标准差在 (f_g) 以下和以上分别为：
- 低于 (f_g)：
[\varepsilon_R \approx \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{V f^3}{2.9 c^3}}} \text{ ，对于 } f < f_g]
- 高于 (f_g)：
[\varepsilon_R \approx \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{T f}{30}}} \text{ ，对于 } f \geq f_g]

这两个公式的图形展示了相对空间标准差的变化情况。在低于施罗德极限频率时，房间体积是重要参数；而在高于极限频率时，混响时间是重要参数。

3.4 极低频率下的情况

在极低频率（(0 \text{ Hz} < f < f_{2,0,0})）下，房间模式数量较少，一维轴向模式往往占主导地位。根据房间尺寸的比例，可能几乎没有或只有很少的切向或斜向模式。
以一个矩形房间为例，尺寸为 ((l_x, l_y, l_z) = (4.32 \text{ m}, 3.38 \text{ m}, 2.70 \text{ m}))，体积为 39 m³。在不同接收位置的频率响应计算结果显示：
- 模态密度非常低，在某些三分之一倍频程带中可能只有一个模式；在其他频带中，声压依赖于一两个固有频率在频带外的模式的频率响应。
- 声压级的变化范围在第一轴向模式 ((1,0,0)) 以上较高，但当频率接近腔模 ((0,0,0)) 时减小到零。
- 概率函数不对称，在角落和中心中间位置的声压级仅比角落低几 dB，反映了余弦形轴向模式在墙壁处最大、在中心处为节点的特点。
- 声压的空间变化是确定性的，因此适用于随机系统的常规统计方法不可用。

频率范围可以分为三个区域，对应的极限频率为 (f_{2,0,0})（最长房间维度上第二轴向模式的频率）和 (f_g)（施罗德极限频率）。区域 1 的标准差可以通过以下经验公式确定：
[\varepsilon_R \approx \frac{l_x f}{c} \text{ ，对于 } f < f_{2,0,0}]
其中 (l_x) 是房间的最长维度（假设为矩形房间），(f_{2,0,0} = \frac{c}{l_x}) 是房间模式 ((2,0,0)) 的固有频率。在这个频率以下，可以假设房间模式很少，主要由三个最低轴向模式 ((1,0,0))、((0,1,0)) 和 ((0,0,1)) 主导。

三个区域的空间标准差分别由以下公式确定：
- 区域 1：(\varepsilon_R \approx \frac{l_x f}{c} \text{ ，对于 } f < f_{2,0,0})
- 区域 2：(\varepsilon_R \approx \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{V f^3}{2.9 c^3}}} \text{ ，对于 } f_{2,0,0} \leq f < f_g)
- 区域 3：(\varepsilon_R \approx \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{T f}{30}}} \text{ ，对于 } f \geq f_g)

空间标准差以 dB 为单位可通过以下公式确定：
[\sigma_{L_p} \approx 10\lg(1 + \varepsilon_R^2) \approx 4.34 \cdot \varepsilon_R \text{ ，对于 } \varepsilon_R \ll 1]

不同房间的测量结果验证了上述理论。例如，在一个 148 m³ 的混响室中，硬表面平均混响时间为 2.1 s，测量结果显示三个区域的标准差变化明显；在一个 31 m³ 的卧室中，有家具且平均混响时间为 0.2 s，也呈现出类似的规律。

综上所述，理解房间内声压的方差对于准确测量声压级和评估隔音效果至关重要。不同的激励方式（纯音、带限噪声）和频率范围会导致声压方差的不同变化，需要采用相应的公式和方法进行分析和计算。同时，房间的体积、混响时间等参数也会对声压方差产生重要影响。在实际测量中，应根据具体情况选择合适的测量方法和参数，以减小测量不确定性。

以下是一个简单的 mermaid 流程图，展示了声压方差计算的大致流程：

graph TD;
    A[开始] --> B{频率是否高于f_g};
    B -- 是 --> C{激励是否为纯音};
    C -- 是 --> D[使用纯音激励公式计算方差];
    C -- 否 --> E[使用带限噪声激励公式计算方差];
    B -- 否 --> F{频率是否低于f_{2,0,0}};
    F -- 是 --> G[使用极低频率公式计算方差];
    F -- 否 --> H[使用低频公式计算方差];
    D --> I[计算标准差];
    E --> I;
    G --> I;
    H --> I;
    I --> J[结束];

4. 测量不确定性的实际影响与应对策略

4.1 实际测量中的挑战

在实际的建筑声学测量中，测量不确定性会带来诸多挑战。例如，在低频率测量时，由于房间模式的特殊性，声压的空间变化复杂，常规统计方法难以适用。这就导致测量结果的准确性难以保证，可能会出现较大的偏差。另外，不同的激励方式（纯音、带限噪声）也会使声压级的波动范围不同，增加了测量的难度。

4.2 应对策略

为了应对测量不确定性带来的挑战，可以采取以下策略：
- 合理选择测量位置 ：在测量声压级时，应根据房间的特点和测量目的，选择合适的测量位置。例如，在极低频率下，由于声压的空间变化是确定性的，可以选择在房间的关键位置进行测量，如角落、中心等，以获取更准确的信息。
- 增加测量点数 ：通过增加测量点数，可以提高空间平均的准确性，减小测量误差。在不同的频率区域，可以根据声压的变化情况，合理分布测量点。
- 选择合适的激励信号 ：根据测量的频率范围和房间的特性，选择合适的激励信号。在高频区域，可以使用宽带噪声信号，以减小声压级的波动范围；在低频区域，可以根据实际情况选择纯音或带限噪声信号。
- 考虑房间参数的影响 ：房间的体积、混响时间等参数会对声压方差产生重要影响。在测量前，应尽可能了解房间的参数，并根据这些参数选择合适的测量方法和公式。

4.3 案例分析

以下通过两个实际案例，进一步说明测量不确定性的影响和应对策略的有效性。

案例一：148 m³ 混响室

在一个 148 m³ 的混响室中，硬表面平均混响时间为 2.1 s。测量结果显示，在不同频率区域，声压级的标准差变化明显。在极低频率区域（(f < f_{2,0,0})），声压级的变化范围较大，使用经验公式 (\varepsilon_R \approx \frac{l_x f}{c}) 可以较好地估计标准差。在低频区域（(f_{2,0,0} \leq f < f_g)）和高频区域（(f \geq f_g)），分别使用相应的公式计算标准差，与实际测量结果较为吻合。通过增加测量点数和合理选择测量位置，测量结果的准确性得到了提高。

案例二：31 m³ 卧室

在一个 31 m³ 的卧室中，有家具且平均混响时间为 0.2 s。测量结果表明，由于房间体积较小和混响时间较短，声压级的波动范围较大。在高频区域，使用宽带噪声信号作为激励，减小了声压级的波动。同时，通过增加测量点数和考虑房间参数的影响，测量结果的不确定性得到了有效控制。

5. 总结与建议

5.1 总结

本文详细介绍了建筑隔音中振动降低指数的计算方法，以及测量不确定性的相关概念和计算方法。通过对房间内声压方差的分析，我们了解到不同激励方式和频率范围下声压级的变化规律，以及房间参数对声压方差的影响。在实际测量中，测量不确定性会带来诸多挑战，但通过合理选择测量位置、增加测量点数、选择合适的激励信号和考虑房间参数的影响等策略，可以有效地减小测量误差，提高测量结果的准确性。

5.2 建议

• 在进行建筑声学测量时，应充分了解测量对象的特点和测量目的，选择合适的测量方法和参数。
• 对于低频率测量，应特别注意房间模式的影响，采用合适的公式和方法进行分析和计算。
• 在实际测量中，应不断总结经验，根据测量结果及时调整测量策略，以提高测量的准确性和可靠性。

以下是一个表格，总结了不同频率区域声压方差的计算公式和适用条件：
| 频率区域 | 计算公式 | 适用条件 |
| — | — | — |
| 高于 (f_g)，纯音激励 | (\varepsilon_R^2 = \frac{\sigma(p^2)}{\langle p^2 \rangle} = \frac{\langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2}{\langle p^2 \rangle}) | 频率高于 (f_g)，激励为纯音 |
| 高于 (f_g)，带限噪声激励 | (\varepsilon_R^2 \approx \frac{2\arctan(Z)}{Z} - \frac{1}{Z^2}\ln(1 + Z^2)) 或 (\varepsilon_R^2 \approx \frac{1}{1 + \frac{BT}{6.9}}) | 频率高于 (f_g)，激励为带限噪声，(BT > 20) 时用近似公式 |
| 低于 (f_g)，高于 (f_{2,0,0}) | (\varepsilon_R^2 \approx \frac{1}{1 + \frac{\Delta N(B)}{8.5}}) | 频率低于 (f_g) 且高于 (f_{2,0,0}) |
| 低于 (f_{2,0,0}) | (\varepsilon_R \approx \frac{l_x f}{c}) | 频率低于 (f_{2,0,0}) |

以下是一个 mermaid 流程图，展示了应对测量不确定性的整体策略：

graph TD;
    A[开始测量] --> B{评估测量环境};
    B --> C{确定频率范围};
    C --> D{选择激励信号};
    D --> E{选择测量位置};
    E --> F{增加测量点数};
    F --> G{计算声压方差};
    G --> H{评估测量结果};
    H -- 结果满意 --> I[结束测量];
    H -- 结果不满意 --> J[调整测量策略];
    J --> D;

通过以上的分析和策略，我们可以更好地应对建筑声学测量中的不确定性，提高测量结果的准确性和可靠性，为建筑隔音设计和评估提供更有力的支持。