36、双覆盖：超越参数化算法中的顶点覆盖

双覆盖：超越参数化算法中的顶点覆盖

1. 预着色扩展问题

预着色扩展问题是图论中的一个自然问题。给定图 $G$ 的一个部分恰当着色，任务是将其扩展为使用 $r$ 种颜色对图 $G$ 的恰当着色。与公平着色类似，该问题在有界树宽的图上是 $W[1]$ 难的，而在顶点覆盖有界时是固定参数可解（FPT）的。不过，之前适用于顶点覆盖有界图的算法不能直接应用于有界双覆盖的图，因为这类图可能包含大团。

定理 4.4 表明，预着色扩展问题在双覆盖至多为 $k$ 的图上可以在 $2^{O(k^32^k)} \cdot |V|$ 时间内解决。证明步骤如下：
- 处理非覆盖顶点 ：两个非覆盖顶点若与覆盖中的相同顶点相邻，则它们属于同一类型。每个类型 $T_i$ 中的顶点被组织成不同大小的团，且有些顶点已被预着色。将孤立顶点视为大小为 1 的团。对于每种类型，将该类型中至少一个顶点预着色的颜色添加到该类型每个团的未预着色顶点中，这样可以扩展预着色，使同一类型的所有团用相同颜色预着色，小团可能用颜色的子集完全预着色，此过程可在 $O(|V|)$ 时间内完成。
- 考虑颜色类型 ：将所有颜色根据它们预着色的类型集合划分为颜色类型（最多 $k$ 种预着色覆盖顶点的颜色可单独处理），最多有 $2^{2^k} + k$ 种颜色类型。相同颜色类型的颜色在覆盖顶点上是完全对称的，可以任意交换而不产生冲突。
- 算法步骤 ：
1. 遍历覆盖顶点颜色类型的 $2^{O(k^32^k)}$ 种可能性。
2. 根据所选类型和颜色相等性，将适当类型的颜色分配给覆盖顶点，并检查是否有冲