22、图论问题中的内核化与安全近似研究

图论问题中的内核化与安全近似研究

1. 图顶点数量的相关结论

在图论问题中，对于非单纯顶点的数量有如下结论。设 (v \in V(G) \setminus X) 为非单纯顶点，存在 (x, y \in N_G(v)) ，使得 (x \neq y) 且 (xy \notin E(G)) 。对于固定的 (x, y \in X) ，若 (x \neq y) 且 (xy \notin E(G)) ，由于约简规则 2 不适用，在 (N_G(x) \cap N_G(y)) 中最多有 (|X| + \eta - 1) 个顶点。由此可推断，在 (V(G) \setminus X) 中不是单纯顶点的数量最多为 (\binom{|X|}{2}(|X| + \eta - 1)) 。

因为约简规则 3 不适用，图中单纯顶点的数量受 (X) 中大小为 (\eta + 1) 的子集数量的限制，所以图中单纯顶点最多有 (\binom{|X|}{\eta + 1}) 个。

基于此，有如下定理：存在一个多项式时间算法，它以 (\eta/0) - 横截实例 ((G, X, \ell)) 为输入，并输出一个等价实例 ((G’, X, \ell)) ，其中 (|V(G’)| \in O(|X|^{\max(\eta + 1, 3)})) 。这是因为约简操作不改变集合 (X) 和 (\eta) - 横截所需的大小 (\ell) ，且所有约简操作在固定 (\eta) 时为多项式时间操作，每次操作要么减少图的顶点数，要么在原本没有边的地方引入新边，规则的应用次数在图的大小上是多项式有界的。

2. 横截问题的多项式内核下界

在研究横截问题时，首先证明了在合理的复杂度假设下， (0/2