22、图问题的内核化与安全近似研究

图问题的内核化与安全近似研究

1. 图顶点数量分析

在图论问题中，对于图 (G) 和集合 (X\subseteq V(G))，我们可以对图中顶点的数量进行分析。设 (v \in V(G) \setminus X) 为非单纯顶点，那么存在 (x, y \in N_G(v))，满足 (x \neq y) 且 (xy \notin E(G))。由于约简规则 2 不适用，对于固定的 (x, y \in X)（(x \neq y) 且 (xy \notin E(G))），在 (N_G(x) \cap N_G(y)) 中最多有 (|X| + \eta - 1) 个顶点。由此可以推断出，在 (V(G) \setminus X) 中不是单纯顶点的数量最多为 (\binom{|X|}{2}(|X| + \eta - 1))。

同时，因为约简规则 3 不适用，图中单纯顶点的数量受 (X) 中大小为 (\eta + 1) 的子集数量的限制，即图中单纯顶点最多有 (\binom{|X|}{\eta + 1}) 个。

1.1 相关定理

存在一个多项式时间算法，它以 (\eta/0) - 横截实例 ((G, X, \ell)) 作为输入，并输出一个等价实例 ((G’, X, \ell))，其中 (|V(G’)| \in O(|X|^{\max(\eta + 1, 3)}))。

2. 多项式内核的下界证明

2.1 多项式参数变换

为了证明某些图问题不存在多项式内核，我们引入了多项式参数变换的概念。设 (P) 和 (Q) 是参数化问题，如果存在一个多项式时间可计算的函数 (f : \Sigma^ \times