15、求解 MAX - 2 - SAT 和 MAX - 2 - CSP 问题的新算法与上界分析

求解 MAX - 2 - SAT 和 MAX - 2 - CSP 问题的新算法与上界分析

1. 问题背景与已有成果

在求解 MAX - 2 - SAT 和 MAX - 2 - CSP 问题上，之前已有不少研究。对于 (n, 3) - MAX - 2 - SAT ，Kojevnikov 和 Kulikov 证明了 $O^ (2^{\frac{n}{6}})$ 的上界，后来 Kulikov 和 Kutzkov 将其改进为 $O^ (2^{\frac{n}{6.7}})$。关于子句数量 m，Chen 和 Kanj 给出了 MAX - SAT 的最佳已知上界 $O^ (2^{\frac{m}{2.465}})$。对于 MAX - 2 - SAT 和 MAX - 2 - CSP，Gaspers 和 Sorkin 分别证明了 $O^ (2^{\frac{m}{6.321}})$ 和 $O^ (2^{\frac{m}{5.263}})$ 的上界。MAX - CUT 是 MAX - 2 - CSP 的特殊情况，Della Croce、Kaminski 和 Paschos 开发了一个运行时间为 $O^ (2^{n(1 - \frac{2}{\Delta})})$ 的 MAX - CUT 算法。

2. 简单算法介绍

2.1 移除度为 2 的变量

若一个 MAX - 2 - SAT 或 MAX - 2 - CSP 实例 F 包含一个度至多为 2 的顶点 u，那么 F 可以在多项式时间内转换为一个公式 F’，满足：
1. $deg_{F’}(u) = 0$；
2. 对于所有顶点 v，$deg