14、稀疏线性系统与MAX - 2 - SAT、MAX - 2 - CSP问题的求解策略

稀疏线性系统与MAX - 2 - SAT、MAX - 2 - CSP问题的求解策略

稀疏线性系统的求解

在处理稀疏线性系统时，我们有多种方法来寻找可行解。对于给定的系统 (Ax = b)，我们可以通过一些特定的步骤来确定其最小可行集。

首先，对于图的每个顶点 (v)，我们可以将其标签设为零，然后检查由此选择所强制的唯一解是否为非负。这样做可以得到所有最小可行集，除非对每个顶点 (v) 的测试都失败。在这种情况下，整个顶点集是唯一可能的可行解。如果是这种情况，根据引理，列是线性独立的，我们可以通过高斯消元法确定唯一解并检查其非负性。

若图不是连通的，我们可以独立地对每个连通分量应用上述推理，所有连通分量的最小可行集的组合就是整个实例中的最小可行集。通过这种方式，我们可以在多项式时间内隐式地描述所有解，尽管解的数量通常不是多项式的。

当矩阵 (A) 是 (r) - 稀疏（(r>2)）时，我们可以先对 2 - 稀疏行应用特定方法，暂时忽略其他行，以找到 (x) 受影响条目的所有可能解。然后，我们可以基于这些解进行分支，移除已确定的行和列，并迭代地将该方法应用于剩余系统，只要能得到新的 2 - 稀疏行。从 2 - 稀疏系统的解空间结构可以得出，此阶段的分支数最多为 2。

对于二进制矩阵的情况，我们有一个关于问题核的重要定理。对于 (Ax = b) 系统，其中 (A) 是 0 - 1 矩阵且所有行都是 (r) - 稀疏的，所有大小至多为 (k) 的列的最小可行集都包含在一个大小为 ((r - 1)kr + k) 的列集中。证明过程使用了归纳假设，通过对顶点集和超边的性质进行分析，逐步推导得出结论。具体步骤如下：
1.