15、求解MAX - 2 - SAT和MAX - 2 - CSP问题的新算法及上界分析

求解MAX - 2 - SAT和MAX - 2 - CSP问题的新算法及上界分析

1 引言

在组合优化领域，MAX - 2 - SAT和MAX - 2 - CSP问题是重要的研究对象。对于MAX - 2 - SAT问题，之前已有Kojevnikov和Kulikov证明了$(n, 3)$ - MAX - 2 - SAT的$O^ (2^{\frac{n}{6}})$上界，后被Kulikov和Kutzkov改进为$O^ (2^{\frac{n}{6.7}})$。在考虑子句数量$m$时，MAX - SAT的最佳已知上界$O^ (2^{\frac{m}{2.465}})$由Chen和Kanj给出。对于MAX - 2 - SAT和MAX - 2 - CSP，Gaspers和Sorkin分别证明了$O^ (2^{\frac{m}{6.321}})$和$O^ (2^{\frac{m}{5.263}})$的上界。MAX - CUT作为MAX - 2 - CSP的特殊情况，Della Croce、Kaminski和Paschos开发了运行时间为$O^ (2^{n(1 - \frac{2}{\Delta})})$的算法。

本文提出了新的算法，能够在$O^ (2^{n(1 - \frac{10}{3(d + 1)})})$和$O^ (2^{n(1 - \frac{3}{d + 1})})$时间内分别解决MAX - 2 - SAT和MAX - 2 - CSP问题。当$d$有下界时，还能进一步改进这些上界。例如，当$d \geq 5$时，得到上界$O^ (2^{n(1 - \frac{3.40}{d + 1})})$和$O^ </