38、图的最大割问题

图的最大割问题

1. 引言

最大割问题（Max-Cut）是图论和组合优化中的一个重要问题。它的目标是在给定的无向图中找到一种分割方式，使得被切断的边的权重总和达到最大值。该问题不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也有广泛用途，如电路设计、网络流量控制等。

2. 最大割问题的基本概念

在形式化定义中，最大割问题可以表述为：给定一个无向图 ( G = (V, E) )，其中 ( V ) 表示顶点集，( E ) 表示边集。每条边 ( e \in E ) 都有一个非负权重 ( w(e) )。我们需要找到一个将顶点集 ( V ) 分成两个互不相交的子集 ( V_1 ) 和 ( V_2 ) 的方案，使得所有连接 ( V_1 ) 和 ( V_2 ) 的边的权重总和最大。

2.1 切割的定义

切割 ( C = (V_1, V_2) ) 是指将图的顶点集 ( V ) 分成两个不相交的子集 ( V_1 ) 和 ( V_2 )，即 ( V = V_1 \cup V_2 ) 且 ( V_1 \cap V_2 = \emptyset )。切割的权重 ( w(C) ) 定义为所有连接 ( V_1 ) 和 ( V_2 ) 的边的权重之和。

2.2 例子

考虑以下简单图：

   1 --- 2
  / \   / \
 3---4 5