15、蒙哥马利乘法：从基础到高阶实现

蒙哥马利乘法：从基础到高阶实现

1. 位并行蒙哥马利乘法与平方

位并行蒙哥马利乘法（MM）从计算余数 (Xn_i \pmod{F(n)}) 开始，其中 (i \in [-u, -u + m - 1])，(X’(i)) 表示 (Xn_i \pmod{F(n)}) 的值。这一计算借助矩阵 (M) 完成，矩阵 (M) 为 (m \times m) 大小，其行由 (i) 的值（(i \in [-u, -u + m - 1])）组成，列则是 (X’(i)) 对应的多项式基表示。

基于此，在有限域 (F_{2^m}) 上，类似于 Mastrovito 乘法的蒙哥马利模乘（MMM）方程可重新表述为：
[
[r_0, r_1, \ldots, r_{m - 1}]^T = M \times [y_0, y_1, \ldots, y_{m - 1}]^T
]

下面是构建位并行蒙哥马利乘法器的相关步骤：
1. 计算余数 (Xn_i \pmod{F(n)})。
2. 构建矩阵 (M)。
3. 利用矩阵 (M) 计算 MMM 方程。

2. 基 - 2 蒙哥马利乘法的并行化

为了在蒙哥马利乘法（MMM）中实现并行性，需要找到一种方法来同时执行两个相互依赖的乘法步骤。Orup 提出的一种方法是对这些步骤进行重新排序，使其能够同时执行。

在并行化 MMM 算法的过程中，引入了一个新的预计算参数 (\hat{m})，其目的是重新排列蒙哥马利算法的乘法和结果步骤，以便能够同时执行。以下是一些需要考虑的符号：
| 符号 | 含义 |
| ---- | ---- |