P1637 三元上升子序列

最新推荐文章于 2024-09-02 20:11:59 发布

guapi2333

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分类专栏：线段树

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本文深入探讨了线段树与离散化算法在处理特定数据结构问题中的应用，通过实例讲解如何利用线段树进行高效的数据查询与更新，同时结合离散化技巧解决大数据范围的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

标签+线段树+离散化好题。

题意：给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，问满足 $a_{i}<a_{j}<a_{k}(1\leq i<j<k\leq n)$ 的三元组 $(a_{i},a_{j},a_{k})$ 的个数。

数据范围： $1\leq n\leq 30000,0\leq a_{i}\leq maxlongint$

首先，我们知道求满足 $a_{i}<a_{j}$ 且 $i<j$ 的二元组的个数的线段树做法是什么。

类比 P1198 [JSOI2008]最大数，假设现在有一个数组 $tot$ 。我们扫一遍整个序列，扫到 $a_{i}$ 时 $tot[a[i]]+=1$ 。此时 $tot_{x}$ 数组存的是在数列 $a$ 中位置下标 $1-i$ 中大小为 $x$ 的数字的个数。那么此时便可以得到：对于 $a_{i+1}$ ，在 $a_{1}-a_{i}$ 中比 $a_{i+1}$ 小的数字的个数 $cnt_{i+1}=\sum_{k=1}^{a_{i+1}-1}tot_{k}$ 。

那么对于原问题， $ans=\sum_{k=2}^{n} \sum_{i=1}^{k-1,a_{i}<a_{k}}cnt_{i}$ 。这个过程利用线段树即可完成统计。

最后注意：由于 $a$ 的值域过大，所以需先离散化。

Code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=30020;
int n,a[MAXN];
int l[MAXN<<2],r[MAXN<<2],add[MAXN<<2],tot[MAXN];
long long sum[MAXN<<2],ans;
struct node{
    int num,pla;
}shu[MAXN];

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.num < b.num;
}

void build(int p,int lft,int rit)
{
    l[p]=lft,r[p]=rit;
    if(l[p]==r[p])  return;
    int mid=(lft+rit)>>1;
    build(p <<1,lft,mid);
    build(p <<1|1,mid+1,rit);
}

void pushupadd(int p)
{
    add[p]=add[p <<1]+add[p <<1|1];
}

void update1(int p,int where,int k)
{
    if(l[p]==where&&r[p]==where)
    {
        add[p]+=k;
        return;
    }
    if(where<=r[p <<1])  update1(p <<1,where,k);
    if(l[p <<1|1]<=where)  update1(p <<1|1,where,k);
    pushupadd(p);
}

int query1(int p,int lft,int rit)
{
    if(lft>rit)  return 0;
    if(lft<=l[p]&&r[p]<=rit)	return add[p];
    int anstot=0;
    if(lft<=r[p <<1])  anstot=query1(p <<1,lft,rit);
    if(l[p <<1|1]<=rit)  anstot+=query1(p <<1|1,lft,rit);
    return anstot;
}

void pushup(int p)
{
    sum[p]=sum[p <<1]+sum[p <<1|1];
}

void update2(int p,int where,long long k)
{
    if(l[p]==where&&r[p]==where)
    {
        sum[p]+=k;
        return;
    }
    if(where<=r[p <<1])  update2(p <<1,where,k);
    if(l[p <<1|1]<=where)  update2(p <<1|1,where,k);
    pushup(p);
}

long long query2(int p,int lft,int rit)
{
    if(lft>rit)  return 0;
    if(lft<=l[p]&&r[p]<=rit)	return sum[p];
    long long anstot=0;
    if(lft<=r[p <<1])  anstot=query2(p <<1,lft,rit);
    if(l[p <<1|1]<=rit)  anstot+=query2(p <<1|1,lft,rit);
    return anstot;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(ri i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&shu[i].num);
        shu[i].pla=i;
    }
    sort(shu+1,shu+n+1,cmp);
    a[shu[1].pla]=1;
    for(ri i=2;i<=n;i++)
    {
        if(shu[i-1].num==shu[i].num)  a[shu[i].pla]=a[shu[i-1].pla];
        if(shu[i-1].num<shu[i].num)  a[shu[i].pla]=a[shu[i-1].pla]+1;
    }
    build(1,1,n);
    for(ri i=2;i<=n;i++)
    {
        update1(1,a[i-1],1);
        tot[i]=query1(1,1,a[i]-1);
    }
    for(ri i=2;i<=n;i++)
    {
        update2(1,a[i-1],(long long)tot[i-1]);
        ans+=query2(1,1,a[i]-1);
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}