luoguP4316 绿豆蛙的归宿

Label

DAG转化成拓扑序后逆向DP

Description

给定一张$n$个点$m$条边、起点为$1$终点为$n$的DAG，每条边均有一个长度，且从起点出发可到达所有的点，所有的点也能到达终点。

绿豆蛙从起点出发走向终点，到达每一个顶点时，若有$k$条离开该点的道路，它会等概率地选择任意一条道路离开该点，即走向每条路的概率均为$\frac{1}{k}$。求它从起点到终点所经过地路径的期望长度为多少。

数据范围：$1\le n\le 10^5,1\le m\le 2n$，答案四舍五入后保留两位小数输出。

Solution

（友情提示：本文中（u,v,w）代表从点u通向点v的，边权为w的有向边）

顺推—一个不好搞的思路

用$dp[i]$表示从点$1$到点$i$所经过的路径长度的期望，那么：

$dp[i]=\sum p_k(dp[u[k]+w[k]])$，其中$p_k$为走编号为k的边的概率，但问题来了：原题意中说的是“等概率地走离开某点的所有道路”，所以所有到达某点的道路走的概率着实不好算（有一种经典的错误思路为$dp[i]=\sum \frac{1}{ou{t}_{u[k]}}(dp[u[k]]+w[k])$（$out[u[k]]$为点$u[k]$的出度），但$\sum \frac{1}{ou{t}_{u[k]}}$显然不等于1，此式不符合期望性质）；故考虑转换思路。

逆推

在期望题中，逆推的使用条件往往是**“终止状态确定时可用逆推”，那么我们考虑想一个终止状态确定的状态**。

此处状态与顺推相反，$dp[i]$不再表示从点$1$到点$i$所经过的路径长度的期望，而是从点$i$到点$n$所经过的路径长度的期望。知道了状态，我们很容易列出符合期望公式$E(x)=\sum p_i{x}_i$的$dp$式：
​$dp[x]={\sum }_{i=1}^{out[x]}\frac{1}{out[x]}(dp[v[i]]+w[i])$
$(dp[n]=0)$
其中$out[x]$为点$x$的出度。
由于是逆推，故可以在拓扑排序过程中实现答案统计。

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=200020;
int n,m,top,u[MAXN],v[MAXN],fst[MAXN],nxt[MAXN],out[MAXN],dfn[MAXN];
double w[MAXN],dp[MAXN];

void topsort(int x)
{
	dfn[x]=1;
	for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
	{
		if(dfn[v[k]])//此处if顺序不能写反！
		{
			dp[x]+=dp[v[k]]+w[k];
			continue;
		}
		topsort(v[k]);
		dp[x]+=dp[v[k]]+w[k];//统计出度点的答案
	}
	if(out[x]!=0)	dp[x]/=out[x];
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	top=n;
	for(ri i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%lf",&u[i],&v[i],&w[i]);
		nxt[i]=fst[u[i]],fst[u[i]]=i;
		++out[u[i]];
	}
	topsort(1);
	printf("%.2f",dp[1]);//.xf自带四舍五入功能
	return 0;
}