树状数组详解

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前缀和 相信大家都知道，它可以用来求区间和。

可是前缀和不怎么灵活，如果要对某个点进行修改，那就需要更新前缀和数组的所有下标不小于修改位置的元素的值，算法复杂度最高可达 $O(n)$，速度十分缓慢，如果碰到大量修改，会直接歇菜。

为了加快单点修改的速度，树状数组就诞生了！

什么是树状数组

树状数组或二叉索引树（英语：Binary Indexed Tree），又以其发明者命名为Fenwick树，最早由Peter M. Fenwick于1994年以A New Data Structure for Cumulative Frequency Tables为题发表在SOFTWARE PRACTICE AND EXPERIENCE。其初衷是解决数据压缩里的累积频率（Cumulative Frequency）的计算问题（当我没说），现多用于高效计算数列的前缀和， 区间和。

以上内容来自网络。

如果你看完了上一段，那么恭喜你！浪费了10秒钟。

树状数组支持以下两种操作，

• 单点修改。
• 区间和查询。

两种操作的时间复杂度都为 $O(logn)$。

树状数组的构造

树状数组的思想大概是这样的，我们可以为数组维护多个区间，在查询和修改时，对这几个包含该点或区间的区间进行修改和查询。

可这些区间也不能随便设置，不然在进行查询修改时，如果包含区间的区间过多，那也会导致速度缓慢。

好了，不扯这些废话了，先来看看它长什么样吧。

设一个长度为 $n$ 的树状数组 $c_i$，那它的元素维护的区间是这样的。

其中 $c_i$ 就等于 $a$ 数组 $[i-lowbit(i)+1,i]$ 的区间和。

$lowbit(i)$ 是什么呢？$lowbit(i)$ 指的是 $i$ 在二进制下最后一个的为 $1$ 的哪一位所代表的值。比如当 $i=10$，即 $(1010{)}_2$ 时，最后一个为 $1$ 的二进制位为从右往左第二位，所以 $lowbit(i)=(10{)}_2=2$。

lowbit的实现方法

$lowbit(x)$ 的实现方法如下:

int Lowbit(int x){
   
	return x&(-x);
	//十分简洁，算法复杂度为 O(1)
}

为什么是 x&(-x) 呢？

大家应该都知道二进制的 原码、反码、补码。当 $x$ 为负数时，他的二进制就是用补码来表示。即将 $x$ 包括符号位取反后加 $1$。

而将 $x$ 变成负数后，二进制在运算时就会变成补码。因为 $lowbit(x)$ 是最后一个为 $1$ 的二进制位，所以它后面所有的二进制位都为 $0$，取反后自然为 $1$，$lowbit(x)$ 的那一位则会变成 $0$，加 $1$ 后，$lowbit(x)$ 后面的二进制位会一直进位到 $lowbit(x)$ 这一位，并全部变为 $0$。所以 $lowbit(x)$ 的后面的二进制位进行按位与后都为 $0$。而 l o w b i t