P4306 [JSOI2010]连通数

最新推荐文章于 2023-02-12 14:52:57 发布

原创最新推荐文章于 2023-02-12 14:52:57 发布 · 291 阅读

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CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了一种使用Tarjan算法和Floyd算法解决有向图中点对连通关系计数问题的方法。通过将原图缩点并利用强连通分量统计答案，实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4306

Problem:给你一张 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图 $(n\leq 2000)$ ，现定义点对 $(i,j)$ 表示连通关系：从点 $i$ 能直接或间接到达点 $j$ ，问你图中存在多少对这样的关系。

关于原题的题意，需注意几点：

1.因为题目给的是有向图，所以 $\exists [i,j]$ （存在从点 $i$ 到达点 $j$ 的路径，下同）并不一定代表 $\exists [j,i]$ （存在从点 $j$ 到达点 $i$ 的路径）。

2. $(i,i)$ 也算是一个合法的点对。

明确这两点后我们就可以考虑怎么做了。

因为涉及点与点之间之间的连通关系，我首先往tarjan上想的（虽然听大佬说他们都是用Floyd传递闭包做的emmm）。将原图缩完点之后，我们可知：对于点 $i$ ，它能到达的点只会是两种：

1.和它同在一个强联通分量的点；

2.点 $i$ 所在的强联通分量所能到达的其它强联通分量里的所有点。

所以，我们以每一个强联通分量为单位统计答案。

设强连通分量 $i$ 内的点的个数为 $w_{i}$ ，那么强连通分量 $i$ 对该题答案的贡献就是： $w_{i}^2+w_{i}\times \sum_{j}^{\exists [i,j]}w_{j}$ 。

AC Code：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ri register int
using namespace std;

const int MAXN=2020;
int n,m,u[MAXN*MAXN],v[MAXN*MAXN],fst[MAXN*MAXN],nxt[MAXN*MAXN];
int dfn[MAXN],low[MAXN],sta[MAXN],top,cnt,vis[MAXN],ctot,b[MAXN],stot,from[MAXN*MAXN],to[MAXN*MAXN];
int book[MAXN],w[MAXN],dp[MAXN],ans;
char ss[MAXN];

void tarjan(int x)
{
    dfn[x]=++cnt,low[x]=dfn[x],sta[++top]=x,vis[x]=1;
    for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
    {
        if(dfn[v[k]]&&vis[v[k]])	low[x]=min(low[x],dfn[v[k]]);
        if(!dfn[v[k]])
        {
            tarjan(v[k]);
            low[x]=min(low[x],low[v[k]]);
        }
    }
    if(low[x]==dfn[x])
    {
        ctot++;
        while(1)
        {
            vis[sta[top]]=0,b[sta[top]]=ctot,w[ctot]++;
            top--;
            if(sta[top+1]==x)	break;
        }
    }
}

void dfs(int x,int num)
{
    book[x]=1;
    for(ri k=fst[x];k>0;k=nxt[k])
        if(!book[to[k]])
        {
            dp[num]+=w[to[k]];
            dfs(to[k],num);
        }
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(ri i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%s",ss+1);
        for(ri j=1;j<=n;j++)
        {
            if(ss[j]=='1')
            {
                ++m;
                u[m]=i,v[m]=j;
                nxt[m]=fst[u[m]],fst[u[m]]=m;
            }
        }
    }
    for(ri i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])  tarjan(i);
    memset(fst,0,sizeof(fst));
    memset(nxt,0,sizeof(nxt));
    for(ri i=1;i<=m;i++)
    {
        if(b[u[i]]==b[v[i]])	continue;
        stot++;
        from[stot]=b[u[i]],to[stot]=b[v[i]];
        nxt[stot]=fst[from[stot]],fst[from[stot]]=stot;
    }
    n=ctot;
    for(ri i=1;i<=n;i++)//O(n^2)算每一个SCC对答案的贡献
    {
        memset(book,0,sizeof(book));
        dfs(i,i);
        dp[i]*=w[i];
    }
    for(ri i=1;i<=ctot;i++)
        ans+=w[i]*w[i]+dp[i];
    cout<<ans;
    return 0;
}