省选基础图论 2-SAT超详细讲解 【Luogu P4171 [JSOI2010] 满汉全席】

2-SAT详解

SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。

定义

2-SAT，简单的说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $<a,b>$，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 $n$ 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

现实意义

比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。

使用布尔方程表示上述问题。设 $a$ 表示 A 先生去参加，那么 B 女士就不能参加（$\neg a$)；$b$ 表示 C 女士参加，那么 $\neg b$ 也一定成立（D 先生不参加）。总结一下，即 $(a\vee b)$（变量 $a,b$ 至少满足一个）。对这些变量关系建有向图，则有：$\neg a\to b\wedge \neg b\to a$（$a$ 不成立则 $b$ 一定成立；同理，$b$ 不成立则 $a$ 一定成立）。建图之后，我们就可以使用缩点算法来求解 2-SAT 问题了。

常用解决方法

Tarjan SCC 缩点

算法考究在建图这点，我们举个例子来讲：

假设有 $a1,a2$ 和 $b1,b2$ 两对，已知 $a1$ 和 $b2$ 间有矛盾，于是为了方案自洽，由于两者中必须选一个，所以我们就要拉两条有向边 $(a1,b1)$ 和 $(b2,a2)$ 表示选了 $a1$ 则必须选 $b1$，选了 $b2$ 则必须选 $a2$ 才能够自洽。

然后通过这样子建边我们跑一遍 Tarjan SCC 判断是否有一个集合中的两个元素在同一个 SCC 中，若有则输出不可能，否则输出方案。构造方案只需要把几个不矛盾的 SCC 拼起来就好了。

输出方案时可以通过变量在图中的拓扑序确定该变量的取值。如果变量 $x$ 的拓扑序在 $\neg x$ 之后，那么取 $x$ 值为真。应用到 Tarjan 算法的缩点，即 $x$ 所在 SCC 编号在 $\neg x$ 之前时，取 $x$ 为真。因为 Tarjan 算法求强连通分量时使用了栈，所以 Tarjan 求得的 SCC 编号相当于反拓扑序。

显然地，时间复杂度为 $O(n+m)$。

暴搜

就是沿着图上一条路径，如果一个点被选择了，那么这条路径以后的点都将被选择，那么，出现不可行的情况就是，存在一个集合中两者都被选择了。

那么，我们只需要枚举一下就可以了，数据不大，答案总是可以出来的。

// 来源：刘汝佳白书第 323 页
struct Twosat {
  int n;
  vector<int> g[maxn * 2];
  bool mark[maxn * 2];
  int s[maxn * 2], c;

  bool dfs(int x) {
    if (mark[x ^ 1]) return false;
    if (mark[x]) return true;
    mark[x] = true;
    s[c++] = x;
    for (int i = 0; i < (int)g[x].size(); i++)
      if (!dfs(g[x][i])) return false;
    return true;
  }

  void init(int n) {
    this->n = n;
    for (int i = 0; i < n * 2; i++) g[i].clear();
    memset(mark, 0, sizeof(mark));
  }

  void add_clause(int x, int y) {  // 这个函数随题意变化
    g[x].push_back(y ^ 1);         // 选了 x 就必须选 y^1
    g[y].push_back(x ^ 1);
  }

  bool solve() {
    for (int i = 0; i < n * 2; i += 2)
      if (!mark[i] && !mark[i + 1]) {
        c = 0;
        if (!dfs(i)) {
          while (c > 0) mark[s[--c]] = false;
          if (!dfs(i + 1)) return false;
        }
      }
    return true;
  }
};

例题

HDU3062 Party

题面：有 n 对夫妻被邀请参加一个聚会，因为场地的问题，每对夫妻中只有 $1$ 人可以列席。在 $2n$ 个人中，某些人之间有着很大的矛盾（当然夫妻之间是没有矛盾的），有矛盾的 $2$ 个人是不会同时出现在聚会上的。有没有可能会有 $n$ 个人同时列席？

这是一道多校题，裸的 2-SAT 判断是否有方案，按照我们上面的分析，如果 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的妻子不合，我们就把 $a1$ 中的丈夫和 $a2$ 中的丈夫连边，把 $a2$ 中的妻子和 $a1$ 中的妻子连边，然后缩点染色判断即可。

2018-2019 ACM-ICPC Asia Seoul Regional K TV Show Game

题面：有 $k(k>3)$ 盏灯，每盏灯是红色或者蓝色，但是初始的时候不知道灯的颜色。有 $n$ 个人，每个人选择 3 盏灯并猜灯的颜色。一个人猜对两盏灯或以上的颜色就可以获得奖品。判断是否存在一个灯的着色方案使得每个人都能领奖，若有则输出一种灯的着色方案。

这道题在判断是否有方案的基础上，在有方案时还要输出一个可行解。

根据 伍昱 -《由对称性解 2-sat 问题》，我们可以得出：如果要输出 2-SAT 问题的一个可行解，只需要在 tarjan 缩点后所得的 DAG 上自底向上地进行选择和删除。

具体实现的时候，可以通过构造 DAG 的反图后在反图上进行拓扑排序实现；也可以根据 tarjan 缩点后，所属连通块编号越小，节点越靠近叶子节点这一性质，优先对所属连通块编号小的节点进行选择。

[JSOI2010] 满汉全席

题目描述

满汉全席是中国最丰盛的宴客菜肴，有许多种不同的材料透过满族或是汉族的料理方式，呈现在数量繁多的菜色之中。由于菜色众多而繁杂，只有极少数博学多闻技艺高超的厨师能够做出满汉全席，而能够烹饪出经过专家认证的满汉全席，也是中国厨师最大的荣誉之一。世界满汉全席协会是由能够料理满汉全席的专家厨师们所组成，而他们之间还细分为许多不同等级的厨师。

为了招收新进的厨师进入世界满汉全席协会，将于近日举办满汉全席大赛，协会派遣许多会员当作评审员，为的就是要在参赛的厨师之中，找到满汉界的明日之星。

大会的规则如下：每位参赛的选手可以得到 $n$ 种材料，选手可以自由选择用满式或是汉式料理将材料当成菜肴。

大会的评审制度是：共有 $m$ 位评审员分别把关。每一位评审员对于满汉全席有各自独特的见解，但基本见解是，要有两样菜色作为满汉全席的标志。如某评审认为，如果没有汉式东坡肉跟满式的涮羊肉锅，就不能算是满汉全席。但避免过于有主见的审核，大会规定一个评审员除非是在认为必备的两样菜色都没有做出来的状况下，才能淘汰一位选手，否则不能淘汰一位选手。

换句话说，只要参赛者能在这两种材料的做法中，其中一个符合评审的喜好即可通过该评审的审查。如材料有猪肉，羊肉和牛肉时，有四位评审员的喜好如下表：

评审一	评审二	评审三	评审四
满式牛肉	满式猪肉	汉式牛肉	汉式牛肉
汉式猪肉	满式羊肉	汉式猪肉	满式羊肉

如参赛者甲做出满式猪肉，满式羊肉和满式牛肉料理，他将无法满足评审三的要求，无法通过评审。而參赛者乙做出汉式猪肉，满式羊肉和满式牛肉料理，就可以满足所有评审的要求。

但大会后来发现，在这样的制度下如果材料选择跟派出的评审员没有特别安排好的话，所有的参赛者最多只能通过部分评审员的审查而不是全部，所以可能会发生没有人通过考核的情形。

如有四个评审员喜好如下表时，则不论参赛者采取什么样的做法，都不可能通过所有评审的考核：

评审一	评审二	评审三	评审四
满式羊肉	满式猪肉	汉式羊肉	汉式羊肉
汉式猪肉	满式羊肉	汉式猪肉	满式猪肉

所以大会希望有人能写一个程序来判断，所选出的 $m$ 位评审，会不会发生没有人能通过考核的窘境，以便协会组织合适的评审团。

输入格式

第一行包含一个数字 $K$（$1\le K\le 50$），代表测试文件包含了 $K$ 组数据。

每一组测试数据的第一行包含两个数字 $n$ 跟 $m$（$n\le 100$，$m\le 1000$），代表有 $n$ 种材料，$m$ 位评审员。

为方便起见，舍弃做法的中文名称而给予编号，编号分别从 $1$ 到 $n$。

接下来的 $m$ 行，每行都代表对应的评审员所拥有的两个喜好，每个喜好由一个英文字母跟一个数字代表，如 $m1$ 代表这个评审喜欢第 $1$ 个材料透过满式料理做出来的菜，而 $h2$ 代表这个评审员喜欢第 $2$ 个材料透过汉式料理做出来的菜。

输出格式

每组测试数据输出一行，如果不会发生没有人能通过考核的窘境，输出 GOOD；否则输出 BAD（均为大写字母）。

输入输出样例

样例输入 #1

2
3 4
m3 h1
m1 m2
h1 h3
h3 m2
2 4
h1 m2
m2 m1
h1 h2
m1 h2

样例输出 #1

GOOD
BAD