省选基础图论 2-SAT超详细讲解 【Luogu P4171 [JSOI2010] 满汉全席】

2-SAT详解

SAT 是适定性（Satisfiability）问题的简称。一般形式为 k - 适定性问题，简称 k-SAT。而当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的。所以我们只研究 $k=2$ 的情况。

定义

2-SAT，简单的说就是给出 $n$ 个集合，每个集合有两个元素，已知若干个 $<a,b>$，表示 $a$ 与 $b$ 矛盾（其中 $a$ 与 $b$ 属于不同的集合）。然后从每个集合选择一个元素，判断能否一共选 $n$ 个两两不矛盾的元素。显然可能有多种选择方案，一般题中只需要求出一种即可。

现实意义

比如邀请人来吃喜酒，夫妻二人必须去一个，然而某些人之间有矛盾（比如 A 先生与 B 女士有矛盾，C 女士不想和 D 先生在一起），那么我们要确定能否避免来人之间没有矛盾，有时需要方案。这是一类生活中常见的问题。

使用布尔方程表示上述问题。设 $a$ 表示 A 先生去参加，那么 B 女士就不能参加（$\neg a$)；$b$ 表示 C 女士参加，那么 $\neg b$ 也一定成立（D 先生不参加）。总结一下，即 $(a\vee b)$（变量 $a,b$ 至少满足一个）。对这些变量关系建有向图，则有：$\neg a\to b\wedge \neg b\to a$（$a$ 不成立则 $b$ 一定成立；同理， b b